Андрей Смирнов
Время чтения: ~16 мин.
Просмотров: 1

Дифференциальная форма закона ома

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Электрическим
током проводимости (электрическим
током) называется упорядоченное
(направленное) движение электрически
заряженных частиц относительно среды
(т.е. внутри макроскопических тел).

Количественно
электрический ток характеризуется
скалярной величиной – силой тока I
и векторной величиной – плотностью
электрического тока
.

Сила
тока
I
– скалярная величина, определяемая
электрическим зарядом, переносимым
через поперечное сечение проводника в
единицу времени:

(11.1)

Электрический
ток, направление движения электрических
зарядов в котором и сила тока не изменяются
со временем, называется постоянным. Для
постоянного тока

(11.2)

Единицa
измерения силы тока – ампер (А).

Плотность
электрического тока – векторная
характеристика тока, равная по модулю
электрическому заряду, проходящему за
единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную направлению
упорядоченного движения заряженных
частиц:

(11.3)

где
dSn
– площадь проекции плоскости на
направление, перпендикулярное направлению
упорядоченного движения заряженных
частиц.

При
равномерном распределении плотности
электрического тока по сечению проводника
сила тока в нём

(11.4)

где
S
– площадь поперечного сечения проводника.

В
общем случае сила тока через поверхность
S
равна:

(11.5)

где

проекция плотностиэлектрического
тока на нормаль к площадкеdS.

Плотность
тока, согласно закону Ома в дифференциальной
форме, определяется по формуле

(11.6)

где

удельная проводимость материала.

Следовательно,
вектор плотности электрического тока
сонаправлен с вектором напряженности
электрического поля в данной точке, то
есть совпадает с направлением
упорядоченного движения положительных
зарядов. Поэтому за направление силы
тока принимается направление упорядоченного
движения положительно заряженных
частиц.

Единица
плотности тока – ампер на метр в квадрате
().

Сила
и плотность тока связаны со средней
скоростью <v>
упорядоченного движения зарядов в
проводнике следующей зависимостью:

(11.7)

(11.8)

где
n
– концентрация носителей тока; е
– элементарный электрический заряд.

Направленное
движение электрических зарядов возможно
только при наличии электрического поля,
энергия которого каким-то образом
восполнялась и расходовалась бы на их
упорядоченное движение. Поэтому в
замкнутой цепи наряду с участками, на
которых положительные носители движутся
в сторону убывания потенциала, должны
иметься участки, на которых перенос
положительных зарядов происходит в
направлении возрастания потенциала,
то есть против сил электростатического
поля (пунктирная часть рис.11.1). Перемещение
носителей на этих участках возможно
лишь с помощью сил неэлектрического
происхождения, называемых сторонними
силами. Сторонние силы могут действовать
либо на всём протяжении цепи, либо на
её отдельных участках.

Сторонние
силы, перемещая электрические заряды,
совершают работу.

Физическая
величина, определяемая работой,
совершаемой сторонними силами при
перемещении единичного положительного
заряда, называется электродвижущей
силой (ЭДС), действующей в цепи или на
её участке:


(11.9)

ЭДС,
как и потенциал, измеряется в вольтах.

Закон Ома для
участка однородной цепи:

сила
тока, текущего по однородному (в смысле
отсутствия сторонних сил) проводнику,
пропорциональна падению напряжения
U
на этом проводнике:

(11.10)

где
R
– электрическое сопротивление проводника.

Электрическое
сопротивление проводника – характеристика
электрических свойств проводника,
определяемая отношением постоянного
напряжения между его началом и концом
к силе протекающего по нему тока.

Сопротивление
зависит от формы и размеров проводника,
а также от свойств материала, из которого
он сделан, и температуры.

Для однородного
цилиндрического проводника

(11.11)

где
l
– длина проводника; S
– площадь его поперечного сечения;
— коэффициент, зависящий от свойств
материала и называемый удельным
электрическим сопротивлением, Ом
.м.

Мнемоническая диаграмма для закона Ома

Схема, иллюстрирующая три составляющие закона Ома

Диаграмма, помогающая запомнить закон Ома. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления

U — электрическое напряжение;I — сила тока;P — электрическая мощность;R — электрическое сопротивление

В соответствии с этой диаграммой формально может быть записано выражение:

R=UI,(7){\displaystyle R\!={U \over I},\qquad (7)}

которое всего лишь позволяет вычислить (применительно к известному току, создающему на заданном участке цепи известное напряжение), сопротивление этого участка. Но математически корректное утверждение о том, что сопротивление проводника растёт прямо пропорционально приложенному к нему напряжению и обратно пропорционально пропускаемому через него току, физически ложно.

В специально оговорённых случаях сопротивление может зависеть от этих величин, но по умолчанию оно определяется лишь физическими и геометрическими параметрами проводника:

R=ϱls,(8){\displaystyle R\!={\varrho l \over s},\qquad (8)}

где:

  • ϱ{\displaystyle \varrho } — удельное электрическое сопротивление материала, из которого сделан проводник,
  • l{\displaystyle l} — его длина
  • s{\displaystyle s} — площадь его поперечного сечения

Закон Ома и ЛЭП

Одним из важнейших требований к линиям электропередачи (ЛЭП) является уменьшение потерь при доставке энергии потребителю. Эти потери в настоящее время заключаются в нагреве проводов, то есть переходе энергии тока в тепловую энергию, за что ответственно омическое сопротивление проводов. Иными словами, задача состоит в том, чтобы довести до потребителя как можно более значительную часть мощности источника тока P{\displaystyle P} = εI{\displaystyle {\varepsilon \!I\!}} при минимальных потерях мощности в линии передачи P(r)=UI,{\displaystyle P(r)=UI,} где U=Ir,{\displaystyle U\!=Ir,} причём r{\displaystyle r} на этот раз есть суммарное сопротивление проводов и внутреннего сопротивления генератора (последнее всё же меньше сопротивления линии передач).

В таком случае потери мощности будут определяться выражением

P(r)=P2rε2.(9){\displaystyle P(r)={\frac {P^{2}r}{\varepsilon ^{2}}}.\qquad (9)}

Отсюда следует, что при постоянной передаваемой мощности её потери растут прямо пропорционально длине ЛЭП и обратно пропорционально квадрату ЭДС. Таким образом, желательно всемерное увеличение ЭДС. Однако ЭДС ограничивается электрической прочностью обмотки генератора, поэтому повышать напряжение на входе линии следует уже после выхода тока из генератора, что для постоянного тока является проблемой. Однако для переменного тока эта задача много проще решается с помощью использования трансформаторов, что и предопределило повсеместное распространение ЛЭП на переменном токе. Однако при повышении напряжения в линии возникают потери на коронирование и возникают трудности с обеспечением надёжности изоляции от земной поверхности. Поэтому наибольшее практически используемое напряжение в дальних ЛЭП обычно не превышает миллиона вольт.

Кроме того, любой проводник, как показал Дж. Максвелл, при изменении силы тока в нём излучает энергию в окружающее пространство, и потому ЛЭП ведёт себя как антенна, что заставляет в ряде случаев наряду с омическими потерями брать в расчёт и потери на излучение.

Инфраструктура рядом

Как запомнить закон Ома

Чтобы запомнить Закон Ома – можно заучить формулировку простыми словами типа:

Чем больше напряжение – тем больше ток, чем больше сопротивление – тем меньше ток.

Или воспользоваться мнемоническими картинками и правилами. Первая это представление закона Ома в виде пирамиды – кратко и понятно.

Мнемоническое правило – это упрощенный вид какого-либо понятия, для простого и легкого его понимания и изучения. Может быть либо в словесной форме, либо в графической. Чтобы правильно найти нужную формулу – закройте пальцем искомую величину и получите ответ в виде произведения или частного. Вот как это работает:

Вторая – это карикатурное представление. Здесь показано: чем больше старается Ом, тем труднее проходит Ампер, а чем больше Вольт – тем легче проходит Ампер.

Напоследок рекомендуем просмотреть полезное видео, в котором простыми словами объясняется Закон Ома и его применение:

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа гласит, что в ветвях образующих узел электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю (токи входящие в узел считаются положительными, выходящие из узла отрицательными).

Пользуясь этим законом для узла A (рисунок 1) можно записать следующее выражение:

Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа

I1 + I2 − I3 + I4 − I5 − I6 = 0.

Попытайтесь самостоятельно применить первый закон Кирхгофа для определения тока в ветви. На приведенной выше схеме изображены шесть ветвей образующие электрический узел В, токи ветвях входят и выходят из узла. Один из токов i неизвестен. 

I1 — I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0

I1 + I2 + I3 + I4 + I5 − i = 0

I1 + I2 + I3 − I4 + I5 − i = 0

Неправильно

Далее

#2. Найдите ток i

i = I1 + I2 + I3 − I4 + I5

i = I1 + I2 — I3 − I4 + I5

i = I1 — I2 — I3 + I4 + I5

Неправильно

Завершить

Результат

Отлично!
Попытайтесь снова(

Выбор направления токов

Если при расчёте цепи направление токов неизвестны, то при составлении уравнений согласно законом Кирхгофа их необходимо предварительно выбрать произвольно и обозначить на схеме стрелками. В действительности направление токов в ветвях могут отличаться от произвольно выбранных. Поэтому выбранные направления токов называют положительными направлениями. Если в результате расчёта цепи какие-либо токи будут выражены отрицательными числами, то действительные направления этих токов обратны выбранным положительным направлениям.

Например

Рисунок 2

На рисунке 2,а представлен электрический узел. Произвольно, стрелками укажем направления токов (рисунок 2,б).

Важно! При выборе направления токов в ветвях, необходимо выполнения двух условий:1. Ток должен вытекать из узла через одну или несколько других ветвей;2

Хотя бы один ток должен входить в узел.

Предположим, что после расчёта цепи получились следующие значения токов:

I1 = -5 А;
I2 = -2 A;
I3 = 3 А.

Так как значение тока I1 и I2 получились отрицательными, следовательно, действительно направление I1 и I2 противоположно ранее выбранным (рисунок 3).

Рисунок 3 — действительное направление токов обозначено синими стрелками

  • I1 − I2 + I3 = 0;
  • -5  − (-2) +3 = 0;
  • -I1 + I2 + I3 = 0;
  • -5  + 2 +3 = 0.

Второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях данного контура.

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.

Применение второго закона Кирхгофа

Для контура ABСDE, изображенного на рисунке 4, стрелками указаны положительные направления токов (произвольно). Составим уравнение согласно второму закону Кирхгофа. Для этого произвольно зададимся направлением обхода контура по часовой или против часовой стрелки. В данном примере направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

Рисунок 4

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, ЭДС записывается со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура. В противном случае ЭДС записывается со знаком “-”.

Падения напряжения записываются со знаком “+”, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Начнём с эдс E1, так как её направление совпадает с обходом контура — записываем её со знаком “+” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 =

E2 направленна против обхода контура записываем со знаком “-” перед знаком равно.

Контур ABСDE E1 − E2 =

Так как больше ЭДС в контуре ABСDЕ нет — левая часть уравнения готова.

В правой части уравнения указываются падения напряжения контура, так как направления токов I1 и I2 совпадает с обходом контура – записываем падения напряжения со знаком “+”.

Контур ABСDЕE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2

Направление тока I3 не совпадет с обходом контура:

Контур ABСDE E1 − E2 = I1*R1 + I2*R2 − I3*R3.

Уравнение для контура готово.

Законы Кирхгофа являются основой для расчета электрической цепи, вот несколько методов применяющие данные законы.

7.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца.

Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд

dq = I dt

(7.7.1)

При этом силы электрического поля, действующего на данном участке совершают

работу:

dA = U dq = U I dt

(7.7.2)

Разделив работу на время, получим выражение для мощности:

N = dA =UI

(7.7.3)

dt

Полезно вспомнить и другие формулы для мощности и работы:

N = RI2

(7.7.4)

A = RI2t

(7.7.5)

В 1841г. Английский физик Джеймс Джоуль и русский физик

Эмилий Ленц установили закон теплового действия электрического

тока.

ДЖОУЛЬ Джеймс Пресскотт (Рис. 6)

(24.12.1818 – 11. 10.1889) – английский физик, один

из первооткрывателей закона сохранения энергии.

Первые уроки по физике ему давал Дж. Дальтон, под

влиянием которого Джоуль начал свои эксперименты.

Работы посвящены электромагнетизму, кинетической

Рис. 6

теории газов.

ЛЕНЦ Эмилий Христианович (Рис. 7) (24.2.1804

– 10.2.1865) – русский физик. Основные работы в области

электромагнетизма. В 1833 установил правило определения

Рис. 7

электродвижущей силы индукции (закон Ленца), а в 1842 (независимо

от Дж. Джоуля) – закон теплового действия электрического тока (закон Джоуля — Ленца). Открыл обратимость электрических машин. Изучал зависимость сопротивление металлов от температуры. Работы относятся также к геофизике.

Независимо друг от друга Джоуль и Ленц показали, что при протекании тока в проводнике выделится количество теплоты:

Q = RI2t

(7.7.6)

Если ток изменяется со временем, то

Q = ∫2

RI 2dt ;

(7.7.7)

1

(7.7.7) это закон Джоуля – Ленца в интегральной форме.

Следовательно, нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над зарядом (мощность выделения тепла N = RI2).

Получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

dQ = RI 2dt = ρ dSdl (jdS )2 dt = ρj2dldSdt = ρj2dldSdt = ρj2 dVdt,

где dV = dl dS – элементарный объем.

Количество тепла выделяющегося в единицу объема в единицу времени

Q уд = ρj2

(7.7.8)

Действие индукционного тока

Закон Ома — основа электротехники

Это основное уравнение, используемое для изучения электрических цепей, было получено экспериментальным путем Георгом Симоном Омом. Он родился в Эрлангене Германии в 1787 году и поступил в университет этого города в 1805 году, где он получил докторскую степень. Георг преподавал математику в школах и проводил эксперименты по физике в школьной физической лаборатории, пытаясь понять принципы электромагнетизма.

Г. С. Ом

В 1827 году он опубликовал статьи, в которых описана математическая модель того, как контуры проводят тепло в работах Фурье. Ом получил экспериментальные данные, на базе которых впервые смог сформулировать свой закон 8 января 1826 года. Он установил, что разность потенциалов между двумя точками в цепи равна произведению тока между ними на общее сопротивление всех электрических устройств. Чем больше напряжение батареи или ее общая разность электропотенциалов, тем больше будет ее ток. Аналогично, с большим сопротивлением он будет меньше.

Но его исследования не нашли должного понимания и Георг оставил свою работу в Кельне. Только в 1833 году он получил должность профессора в Нюрнберге. Выводы Ома послужили катализатором для новейших исследований по электричеству. В 1841 году ученого наградили медалью Копли, а в 1872 году «Ом» был принят в качестве единицы сопротивления в электрических цепях.

Закон Ома для полной электрической цепи описывает протекание тока через проводящие металлы, когда применяются различные уровни напряжения. Некоторые материалы, такие как электропровода, имеют небольшое сопротивление току — этот тип материала называется проводником.

Важно! В других случаях материал может препятствовать протеканию тока, но, тем не менее, допускает его использование. В электрических цепях эти компоненты часто называют резисторами

Существуют материалы, которые практически не пропускают ток, они называются изоляторами.

Закон Ома для переменного тока

Вышеприведённые соображения о свойствах электрической цепи при использовании источника (генератора) с переменной во времени ЭДС остаются справедливыми. Специальному рассмотрению подлежит лишь учёт специфических свойств потребителя, приводящих к разновременности достижения напряжением и током своих максимальных значений, то есть учёт фазового сдвига.

Если ток является синусоидальным с циклической частотой ω, а цепь содержит не только активные, но и реактивные компоненты (ёмкости, индуктивности), то закон Ома обобщается; величины, входящие в него, становятся комплексными:

U=I⋅Z,{\displaystyle \mathbb {U} =\mathbb {I} \cdot \mathbb {Z} ,}

где:

  • U=Ueiωt{\displaystyle \mathbb {U} =U_{0}e^{i\omega t}} — комплексное напряжение или разность потенциалов,
  • I{\displaystyle \mathbb {I} } — комплексная сила тока,
  • Z=Re−iδ{\displaystyle \mathbb {Z} =Re^{-i\delta }} — комплексное сопротивление (электрический импеданс),
  • R = Ra2 + Rr2 — полное сопротивление (модуль импеданса),
  • Rr = ωL − 1/(ωC) — реактивное сопротивление (разность индуктивного и емкостного),
  • Rа — активное (омическое) сопротивление, не зависящее от частоты,
  • δ = − arctg (Rr/Ra) — сдвиг фаз между напряжением и силой тока (фаза импеданса, с точностью до обратного знака).

При этом переход от комплексных переменных в значениях тока и напряжения к действительным (измеряемым) значениям может быть произведён взятием действительной или мнимой части (но во всех элементах цепи одной и той же!) комплексных значений этих величин. Соответственно, обратный переход строится для, к примеру, U=Usin⁡(ωt+φ){\displaystyle U=U_{0}\sin(\omega t+\varphi )} подбором такой U=Uei(ωt+φ),{\displaystyle \mathbb {U} =U_{0}e^{i(\omega t+\varphi )},} что Im⁡U=U.{\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {U} =U.} Тогда все значения токов и напряжений в схеме надо считать как F=Im⁡F.{\displaystyle F=\operatorname {Im} \mathbb {F} .}

Если ток изменяется во времени, но не является синусоидальным (и даже периодическим), то его можно представить как сумму синусоидальных Фурье-компонент. Для линейных цепей можно считать компоненты фурье-разложения тока действующими независимо. Нелинейность цепи приводит к возникновению гармоник (колебаний с частотой, кратной частоте тока, действующего на цепь), а также колебаний с суммарными и разностными частотами. Вследствие этого закон Ома в нелинейных цепях, вообще говоря, не выполняется.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения
и существования электрического тока
необходимо:

  1. наличие свободных
    носителей тока – заряженных частиц,
    способных перемещаться упорядоченно;

  2. наличие электрического
    поля, энергия которого должна каким-то
    образом восполняться.

Соединим
проводником два тела с зарядами +q
и q.
Кулоновские силы заставляют электроны
перемещаться по проводнику. Возникнет
ток. Однако тела при этом будут
разряжаться, разность потенциалов
уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи
действуют только силы электростатического
поля, то происходит перемещение носителей
таким образом, что потенциалы всех точек
цепи выравниваются и электростатическое
поле исчезает.

Следовательно,
поле кулоновских
сил не может являться причиной постоянного
электрического тока.

Ток в проводнике
нейтрализует заряды на его концах. Для
поддержания постоянного тока необходимо
поддерживать постоянную разность
потенциалов, следовательно, разделять
заряды. Электрические силы разделять
заряды не могут.

Силы, разделяющие
заряды, имеют неэлектрическую природу
и называются сторонними
силами
.

Устройство, в
котором действуют сторонние силы,
называется источником
тока
.

Сторонние
силы заставляют заряды двигаться внутри
источника тока против сил поля. Благодаря
этому в цепи поддерживается постоянная
разность потенциалов.

Перемещая заряды,
сторонние силы совершают работу за счет
энергии, затраченной в источнике тока.
Например, в электрофорной машине
разделение зарядов происходит за счет
механической работы, в гальваническом
элементе – за счет энергии химических
реакций и т.д.

Величина, равная
работе сторонних сил по перемещению
единичного положительного заряда
,
называется электродвижущей
силой (ЭДС).

Обозначим
— вектор напряженности поля сторонних
сил.

Результирующее
поле, действующее на заряды в проводнике,
в общем случае

Плотность тока в
цепи

.

– закон Ома в
дифференциальной форме для цепи,
содержащей ЭДС.

Рассмотрим
участок AB
замкнутой цепи, содержащей ЭДС
(рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент
dl.

Плотность тока
на этом участке опишется уравнением
.
Умножим скалярно обе части этого
равенства наи проинтегрируем по участкуAB

Рассмотрим каждый
интеграл в отдельности:

а)

где А
В
– разность потенциалов между точками
A
и B.

Разность
потенциалов численно равна работе
кулоновских сил по перемещению единичного
положительного заряда из т.
A
в т.
B;

б)

где — ЭДС.

ЭДС,
действующая на участке цепи, численно
равна работе сторонних сил по перемещению
единичного положительного заряда из
т.
A
в т.
B;

в)

где RAB
– сопротивление участка AB.

С учетом выше
сказанного можно получить:

— закон Ома для
участка цепи с ЭДС.

Частные случаи:

  1. если на данном
    участке цепи источник тока отсутствует,
    то получаем закон Ома для однородного
    участка цепи:

  1. если цепь замкнута
    (=0),
    то получим закон Ома для замкнутой
    цепи:

где
— ЭДС, действующая в цепи, R
– суммарное сопротивление всей цепи,
rвнутр
– внутреннее сопротивление источника
тока, Rвнеш
– сопротивление внешней цепи;

  1. если цепь разомкнута,
    то I
    = 0
    и 12
    =
    2
    1,
    т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи
    равна разности потенциалов на ее концах.

  2. В случае короткого
    замыкания сопротивление внешней цепи
    Rвнеш
    = 0
    и сила
    тока
    в этом случае ограничивается только
    величиной внутреннего сопротивления
    источника тока.

Величина IRAB
=
UAB
называется падением
напряжения на участке
AB.

Падение
напряжения на участке
AB
численно равно работе кулоновских и
сторонних сил по перемещению единичного
положительного заряда из т.
A
в т.
B.

Если цепь замкнута,
то 1
=
2
и

– закон Ома для
замкнутой цепи.

Если участок цепи
не содержит ЭДС, то

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Максим Иванов
Наш эксперт
Написано статей
129
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации