Территория электротехнической информации websor

Оптимизированная процедура составления системы

По упрощенной методике поступают следующим образом:

• В уравнениях в левой части записывают произведение суммы всех входящих в контур сопротивлений на контурный ток;
• От полученного выражения вычитаются умноженные на сумму сопротивлений общей ветви соседние контурные токи;
• Справа записывается сумма источников ЭДС контура.

Формальный подход

Формальный подход предполагает матричную форму записи системы уравнений. Для расчетов исходные данные записывают в матричной форме.  Используются такие матрицы:

• C – в которой i строк, соответствующих количеству контуров, и j столбцов по количеству ветвей;
• Z – диагональная матрица сопротивлений, количество строк и столбцов которой соответствуют числу веток;
• Ct – транспонированная матрица С;
• I – матрица контурных величин;
• J – матрица источников тока;
• Е – матрица ЭДС.

При составлении матрицы С каждый элемент Сij

• 0, если ветвь j не входит в контур;
• -1, если ветвь входит в контур, направление тока противоположно контурному;
• 1 – то же самое, но направление тока совпадает с контурным.

В матрице Z диагональные элементы равняются сопротивлению участков, остальные приравниваются нулю.

Итоговая формула для расчетов имеет вид:

C∙Z∙Ct∙I=C(Z∙J+E).

Такая форма записи решения в матричной форме показывает, каким образом выполняются действия над составленными матрицами.

Пример системы уравнений

Ниже рассмотрен пример расчета конкретной схемы без учета номиналов элементов.

Пример решения

В заданной цепи выделяют три контура. Как выразить токи в ветвях через контурные:

• i1=I1;
• i2=I2;
• i3=I3;
• i4=I2+I3;
• i5=I1+I2;
• i6=I1-I3.

Как составить систему уравнений:

• i1R1+i5R5+i6R6=E1;
• i2R2+i4R4+i5R5=E2;
• i3R3+i4R4-i6R6=0

Как подставить контурные значения

• I1R1+( I1+I2)R5+( I1-I3)R6=E1;
• I2R2+( I2+I3)R4+( I1+I2)R5=E2;
• I3R3+( I2+I3)R4-( I1-I3)R6=0

После преобразования получается необходимая система уравнений:

• (R1+R5+R6)I1+R5I2+R6I3=E1;
• R5I1+(R2+R4+R5)I2+R4I3=E2;
• -R6I1+R4I2+(R3+R4+R6)I3=0.

Система из трех уравнений легко решается после подстановки известных параметров. Из полученных значений контурных токов затем можно найти искомые величины.

Данный пример решения задач по методу контурных токов показывает, что любую достаточно сложную схему можно существенно упростить для решения, руководствуясь указаниями.

Важно! Метод неприменим, если нет возможности преобразовать цепь без взаимного пересечения ветвей. В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник

В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник.

Точно такие же результаты получаются при использовании метода узловых потенциалов. В основе расчетов – поиск потенциала каждого узла (так называемый узловой потенциал). Существуют программы, позволяющие произвести онлайн расчет параметров по рассмотренным методам.

Принцип и метод наложения в теории цепей.

Принцип
наложения или суперпозиции – это
физический принцип, который говорит,
что результирующее действие, возникающее
от воздействия нескольких сил, может
быть в ли­нейной системе найдено как
алгебраическая сумма от действий каждой
силы в отдельности. В теории цепей под
силой рассматривается воздействие
каждого источника. Тогда можно заключить,
что ток, который возникает на участке
цепи под действием нескольких источников,
работающих одновременно, можно определить
как алгебраическую сумму частичных
токов, каждый из которых возникает под
действием своего источника, работающего
отдельно от остальных источников.

Частичные
токи рассчитываются каждый в своей
схеме замещения, в которой оставляют
один источник, а остальные заменяют
следующим образом: идеальный источник
тока – разрывом (J=0),
идеальный источник напряжения –
перемычкой, проводником (E=0),
реальные источники энергии – внутренними
сопротивлениями.

К
полученным схемам применяют законы
Кирхгофа, законы Ома. На основе этих
положений возникает метод наложения
для расчетов токов и напряжений. Особенно
он необходим, когда в цепи действует
несколько разнотипных источников
(например, с разными частотами, с разными
видами действия, с разной формой
воздействия).

Рассмотрим на
примере.

Пример 1

К данной схеме
можно применить как метод наложения,
так и метод токов ветвей.

Составим
четыре схемы замещения, в каждой из
которых будет действовать только один
источник энергии.

1)

I_1E1=E₁/(R1+R3+R45).

2)

При этом надо
учитывать направления частичных токов
и источников.

3)

4)

Как мы видим, в
данном примере решение было бы легче
при применении метода токов ветвей.

Пример
2 Здесь
Е1- источник постоянной эдс, а j2
– источник переменного тока
.

В
данном случае мы можем использовать
только метод наложения. Составим две
схемы замещения, в первой из которых
рассчитываются частичные токи от
источника постоянной эдс. Поэтому в ней
индуктивность заменена перемычкой, а
емкость – разрывом. Во второй схеме
рассчитываются частичные токи от
источника переменного тока и здесь
необходимо перевести все токи, напряжения
и сопротивления в комплексную форму и
записать законы Кирхгофа в комплексной
форме.

I_1E1
I_R2E1
C i_1
j2 i_R2
j2 ic _j2

L

I_3E1
i2 = j2
i_{3 j2}

I_1E1=E1/(R1+R2)=I_2E1=I_3E1.
Тут надо составлять уравнения по
МКТ в комплексной форме. Например, по 1
закону

I_1J2+I_R2J2+I_CJ2
–J₂=0,
—I_CJ2
—I_R2J2+I_3J2=0.

Можно
использовать и общую проводимость
относительно источника тока.
,
,

,
.
Аналогично остальные токи

В
итоге получается, что i₁=I_1E1+i_1
j2,
i_R2=I_R2E1
– i_R2j2,
ic=i_cj2,

i₃=I_3E1
– i_3j2,
i₂=j₂.

Построение системы уравнений

Построение системы уравнений по рассматриваемой методике выполняется по следующим правилам:

• Для каждого выбранного контура задается направление обхода;
• С левой стороны равенств записывается сумма всех произведений искомых токов в ветвях на сопротивление веток. В правую часть записывается сумма источников напряжений, присутствующих в контуре;
• Если направление искомой величины или источника напряжения такое же, как у заданного направления обхода, то слагаемые пишутся со знаком «плюс», в ином случае они имеют отрицательное значение;
• Значение токов в ветвях заменяют на их выражение через токи контура.

После выполнения арифметических действий (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) получается система уравнений, в которых неизвестными величинами являются виртуальные контурные токи.

Решая систему уравнений, получают значения контурных, а затем искомых величин.

Построение системы контуров

Использование планарных графов

Выделение независимых контуров на планарном графе электрической схемы.

Наиболее простым и наглядным методом построения системы независимых контуров является построение планарного графа схемы, то есть размещение ветвей и узлов цепи на плоскости без взаимных пересечений рёбер. Планарный граф разбивает плоскость на К ограниченных областей. Можно показать, что замкнутые цепочки рёбер, ограничивающие эти области, являются системой независимых контуров для рассматриваемой схемы.

Метод планарного графа предпочтителен при ручном расчёте схем. В случае, если схему невозможно изобразить в виде планарного графа, а также в случае компьютерного построения системы контуров применение этого метода может оказаться невозможным.

Метод выделения максимального дерева

Дерево представляет собой подмножество звеньев цепи, представляющее собой односвязный (то есть состоящий из одной части) граф, в котором нет замкнутых контуров. Дерево получается из цепи путём исключения из него некоторых звеньев. Максимальное дерево — это дерево, для которого добавление к нему любого исключённого звена приводит к образованию контура.

Метод выделения максимального дерева основан на последовательном исключении из цепи определённых звеньев согласно следующим правилам:

• На каждом шагу из цепи в произвольном порядке исключается одно звено;
• Если исключение звена приводит к нарушению односвязности графа (то есть граф разбивается на две изолированных части, либо появляются «висящие» узлы), то звено возвращается в цепь;
• Если при исключении звена граф не теряет односвязности, звено остаётся исключённым;
• Переходим к следующему шагу.

В конце работы алгоритма число исключённых из цепи звеньев оказывается точно равно числу независимых контуров схемы. Каждый независимый контур получается присоединением к цепи соответствующего исключённого звена.

Пример выделения максимального дерева

Теоретические основы электротехники. Методические указания и контрольные задания для студентов технических специальностей высших учебных заведений. Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е.

Задача 3.1 Переходные процессы в линейных электрических цепях

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рисунки 3.1 – 3.20). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи приведены в таблице 3.1. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка (смотри рисунки 3.1 – 3.20), когда L₂=0, т. е. участок а–b схемы закорочен, и когда С₂=0, т. е. ветвь m–n с конденсатором С₂ разомкнута. При вычерчивании схемы в тетради элемента L₂ и С₂ должны отсутствовать. Определить закон изменения во времени указанной в таблице величины (тока или напряжения).

Задачу следует решать двумя методами: классическим методом и операторным методом. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/|p|_min, где |p|_min – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Порядок расчета

    Выбираются независимые контуры,
и задаются произвольные направления
контурных токов.
В нашем случае эти
токи направлены по часовой стрелке.
Направление обхода контура совпадает
с направлением контурных токов. Уравнения
для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

(4.4)

(4.5)

 Суммарное сопротивление данного
контура называется собственным
сопротивлением контура.
Собственные
сопротивления контуров схемы

, 
   .

    Сопротивление R3, принадлежащее
одновременно двум контурам, называется
общим сопротивлением этих контуров.

,

  где R12 — общее сопротивление между
первым и вторым контурами;
R21 — общее
сопротивление между вторым и первым
контурами.
E11 = E1 и E22 = E2 — контурные
ЭДС.
В общем виде уравнения (4.4) и (4.5)
записываются следующим образом:

,

.

       Собственные сопротивления
всегда имеют знак «плюс».
Общее
сопротивление имеет знак «минус»,
если в данном сопротивлении контурные
токи направлены встречно друг другу, и
знак «плюс», если контурные токи в
общем сопротивлении совпадают по
направлению.
Решая уравнения (4.4) и
(4.5) совместно, определим контурные токи
I11 и I22, затем от контурных токов переходим
к токам в ветвях.
Ветви схемы, по
которым протекает один контурный ток,
называются внешними, а ветви, по которым
протекают несколько контурных токов,
называются общими. Ток во внешней ветви
совпадает по величине и по направлению
c контурным. Ток в общей ветви равен
алгебраической сумме контурных токов,
протекающих в этой ветви.
     
  В схеме на Рис.
4.2

.

Суть метода контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

4.2 Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11и I22- контурные токи.

Рис. 4.2

Токи в сопротивлениях R1и R2равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов. В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

(4.4)

(4.5)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Собственные сопротивления контуров схемы

,.

Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

,

где R12- общее сопротивление между первым и вторым контурами; R21- общее сопротивление между вторым и первым контурами. E11= E1и E22= E2- контурные ЭДС. В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

,.

Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс». Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I11и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви. В схеме нарис. 4.2

Рекомендации

Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам. Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против). Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным. Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

4.3. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла.

Рис. 4.3

Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов.

Примем для схемы ᵠ4 = 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

(4.6)

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

,

Где — проводимость первой ветви.

,

Где — проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

(4.7)

где g11= g1+ g2- собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле. g12= g2- общая проводимость между узлами 1 и 2. Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1. Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус». По аналогии запишем для узла 2:

(4.8)

для узла 3:

(4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ 1,φ2,φ3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи. Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Метод контурных токов в цепи с источниками токов

Алгоритм метода контурных токов в цепи с источниками токов

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.
2. Строят контурные токи, проходящие через источники тока. Величина каждого такого контурного тока известна и равна току источника тока, через который проходит данный контурный ток (строим контурные токи так, что через источник тока проходит только один контурный ток!).
3. Определяют независимые контуры и их нумеруют. Независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока (в нашем случае остается один независимый контур!).
4. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока.
5. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.
6. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

Расчет переходного процесса в цепи первого порядка классическим методом

Задание 4 (5)

Рассчитать и анализировать переходные процессы в цепи первого порядка, содержащей резисторы, конденсатор или индуктивность. В момент времени t = 0 происходит переключение ключа К, в результате чего в цепи возникает переходные процессы.

1. Перерисуйте схему цепи, соответствующей вашему варианту.
2. Выпишите числовые данные для схемы вашего варианта.
3. Рассчитайте все токи и напряжение на C и L в три момента времени t: 0–, 0+, ∞.
4. Рассчитайте классическим методом переходные процессы в виде u_C(t), i₂(t), i₃(t) в схемах 1–5 и u_L(t), i₂(t), i₃(t) в схемах 6–10. Проверьте правильность расчетов, выполненных в п. 4, путем сопоставления их с результатами расчетов в п. 3.
5. Постройте графики переходных токов и напряжений, рассчитанных в п. 4. Определите длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.

Определение и суть метода контурных токов

По данному методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все, без исключения, элементы. Предполагается, что в каждом контуре может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одному контуру, то ток через входящие в нее элементы равен контурному. Если элемент охватывается несколькими контурами, то он в ней равен алгебраической (с учетом направления) сумме контурных токов.

Разбиение цепи на контуры

Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» – при совпадении направления, «минус» – при противоположном

При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока.

На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется согласно закона Ома:

U=I∙r, где r – внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).

Методика расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчетах цепей переменного напряжения с реактивными элементами используются комплексные величины, затем вычисляются мгновенные и амплитудные величины токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.

Цепь с реактивными элементами

Метод узловых потенциалов для анализа электрической цепи синусоидального тока

Данный
метод вытекает из первого закона
Кирхгофа. В качестве неизвестных
принимаются потенциалы узлов, по
найденным значениям которых с помощью
закона Ома для участка цепи с источником
ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку
потенциал – величина относительная,
потенциал одного из узлов (любого)
принимается равным нулю. Таким образом,
число неизвестных потенциалов, а
следовательно, и число уравнений равно
, т.е. числу ветвей.

Метод
узловых потенциалов, как и метод контурных
токов является одним из основных
расчетных приемов. В тех случаях, когда
число узлов без единицы меньше числа
независимых контуров в схеме, данный
метод является более экономным, чем
метод контурных токов.

Если
схема имеет п узлов, то ей соответствует
система из (n — 1) уравнений вида:

Проводимость
в узле определяется как сумма проводимостей
сходящихся ветвей:

—
сумма проводимостей сходящихся в узле
k.
—
сумма проводимостей ветвей, соединяющих
узлы k и m, взятая со знаком минус.есть узловой ток k узла. Если к k узлу
подтекает ток от источника тока, то он
должен быть включен в ток Ikk со знаком
плюс, если утекает, то со знаком минус.
Если между какими-либо двумя узлами нет
ветви, то соответствующая проводимость
равна нулю.

После
решения системы (1) относительно
потенциалов определяют токи в ветвях
по закону Ома для участка цепи, содержащего
ЭДС.

Алгоритм

Заменить
источники напряжения, включенные
последовательно с сопротивлениями, на
эквивалентные источники тока, включенные
параллельно сопротивлениям.

Заменить
сопротивления резисторов на проводимости.

Выбирать
опорный узел (U0).

Назначить
неизвестные напряжения (U1), (U2) … (UN)
оставшимся узлам.

Сформировать
уравнения Первого Закона Кирхгофа для
каждого из узлов. Сумма проводимостей,
связанных с первым узлом схемы, будет
положительным коэффициентом первого
напряжения в уравнении 1. Сумма
проводимостей, связанных со вторым
узлом схемы, будет положительным
коэффициентом второго напряжения в
уравнении 2, и так далее, в зависимости
от количества узлов. В результате у вас
должна получиться диагональ положительных
значений.

Все
остальные коэффициенты уравнений будут
иметь отрицательный знак, так как они
представляют проводимости, расположенные
между узлами.

Правые
части уравнений представляют собой
значения источников тока, подключенных
к соответствующим узлам.

Решитm
систему уравнений, чтобы найти неизвестные
напряжения.

Для
узла а.

Подставим
значения токов.

Сгруппируем
соответствующие члены выражения.

Аналогично
для узла b.

1.
В левой части i-го уравнения записывается
со знаком “+”потенциалi-го узла, для которого составляется
данное i-е уравнение, умноженный на сумму
проводимостейветвей, присоединенных к данному i-му
узлу, и со знаком “-”потенциалсоседних узлов, каждый из которых умножен
на сумму проводимостейветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из
сказанного следует, что все члены
,
стоящие на главной диагонали в левой
части системы уравнений, записываются
со знаком “+”, а все остальные – со
знаком “-”, причем.
Последнее равенство по аналогии с
методом контурных токов обеспечивает
симметрию коэффициентов уравнений
относительно главной диагонали.

2.
В правой части i-го уравнения записывается
так называемый узловой ток
,
равный сумме произведений ЭДС ветвей,
подходящих к i-му узлу, и проводимостей
этих ветвей. При этом член суммы
записывается со знаком “+”, если
соответствующая ЭДС направлена к i-му
узлу, в противном случае ставится знак
“-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях
содержатся источники тока, то знаки
токов источников токов, входящих в
узловой ток простыми слагаемыми,
определяются аналогично.

В
заключение отметим, что выбор того или
иного из рассмотренных методов
определяется тем, что следует найти, а
также тем, какой из них обеспечивает
меньший порядок системы уравнений. При
расчете токов при одинаковом числе
уравнений предпочтительнее использовать
метод контурных токов, так как он не
требует дополнительных вычислений с
использованием закона Ома. Метод узловых
потенциалов очень удобен при расчетах
многофазных цепей, но не удобен при
расчете цепей со взаимной индуктивностью.

11) Представление схем в виде графов. Топологические понятия

Электрическая
цепь характеризуется совокупностью
элементов, из которых она состоит, и
способом их соединения. Соединение
элементов электрической цепи наглядно
отображается ее схемой. Рассмотрим для
примера две электрические схемы (рис.
1, 2), введя понятие ветви и узла.

Рис.1

Рис.2

Ветвьюназывается участок цепи, обтекаемый
одним и тем же током.

Узел– место соединения трех и более ветвей.

Представленные
схемы различны и по форме, и по назначению,
но каждая из указанных цепей содержит
по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных.
Таким образом, в смысле геометрии
(топологии) соединений ветвей данные
схемы идентичны.

Топологические
(геометрические) свойства электрической
цепи не зависят от типа и свойств
элементов, из которых состоит ветвь.
Поэтому целесообразно каждую ветвь
схемы электрической цепи изобразить
отрезком линии. Если каждую ветвь схем
на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии,
получается геометрическая фигура,
показанная на рис. 3.

Условное
изображение схемы, в котором каждая
ветвь заменяется отрезком линии,
называется графом электрической цепи.
При этом следует помнить, что ветви
могут состоять из каких-либо элементов,
в свою очередь соединенных различным
образом.

Отрезок
линии, соответствующий ветви схемы,
называется ветвью графа. Граничные
точки ветви графа называютузлами
графа. Ветвям графа может быть дана
определенная ориентация, указанная
стрелкой. Граф, у которого все ветви
ориентированы, называетсяориентированным.

Подграфомграфа называется часть графа, т.е. это
может быть одна ветвь или один изолированный
узел графа, а также любое множество
ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В
теории электрических цепей важное
значение имеют следующие подграфы:

1.
Путь– это упорядоченная последовательность
ветвей, в которой каждые две соседние
ветви имеют общий узел, причем любая
ветвь и любой узел встречаются на этом
пути только один раз. Например, в схеме
на рис. 3 ветви2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1образуют
пути между одной и той же парой узлов1и3. Таким образом, путь – это
совокупность ветвей, проходимых
непрерывно.

2.
Контур– замкнутый путь, в котором
один из узлов является начальным и
конечным узлом пути. Например, для графа
по рис. 3 можно определить контуры,
образованные ветвями2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4.
Если между любой парой узлов графа
существует связь, то граф называют
связным.

3.
Дерево– это связный подграф, содержащий
все узлы графа, но ни одного контура.
Примерами деревьев для графа на рис. 3
могут служить фигуры на рис. 4.

Рис.4

4.
Ветви связи (дополнения дерева)– это
ветви графа, дополняющие дерево до
исходного графа.

Если
граф содержит mузлов иnветвей,
то число ветвей любого дерева,
а числа ветвей связи графа.

5.
Сечение графа– множество ветвей,
удаление которых делит граф на два
изолированных подграфа, один из которых,
в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение
можно наглядно изобразить в виде следа
некоторой замкнутой поверхности,
рассекающей соответствующие ветви.
Примерами таких поверхностей являются
для нашего графа на рис. 3 S₁иS₂. При этом получаем
соответственно сечения, образованные
ветвями6-4-5 и 6-2-1-5.

С
понятием дерева связаны понятия главных
контуров и сечений:

• главный
  контур– контур, состоящий из ветвей
  дерева и только одной ветви связи;

• главное
  сечение – сечение, состоящее из
  ветвей связи и только одной ветви
  дерева.

Построение системы контуров

Использование планарных графов

Выделение независимых контуров на планарном графе электрической схемы.

Наиболее простым и наглядным методом построения системы независимых контуров является построение планарного графа схемы, то есть размещение ветвей и узлов цепи на плоскости без взаимных пересечений рёбер. Планарный граф разбивает плоскость на К ограниченных областей. Можно показать, что замкнутые цепочки рёбер, ограничивающие эти области, являются системой независимых контуров для рассматриваемой схемы.

Метод планарного графа предпочтителен при ручном расчёте схем. В случае, если схему невозможно изобразить в виде планарного графа, а также в случае компьютерного построения системы контуров применение этого метода может оказаться невозможным.

Метод выделения максимального дерева

Дерево представляет собой подмножество звеньев цепи, представляющее собой односвязный (то есть состоящий из одной части) граф, в котором нет замкнутых контуров. Дерево получается из цепи путём исключения из него некоторых звеньев. Максимальное дерево — это дерево, для которого добавление к нему любого исключённого звена приводит к образованию контура.

Метод выделения максимального дерева основан на последовательном исключении из цепи определённых звеньев согласно следующим правилам:

• На каждом шагу из цепи в произвольном порядке исключается одно звено;
• Если исключение звена приводит к нарушению односвязности графа (то есть граф разбивается на две изолированных части, либо появляются «висящие» узлы), то звено возвращается в цепь;
• Если при исключении звена граф не теряет односвязности, звено остаётся исключённым;
• Переходим к следующему шагу.

В конце работы алгоритма число исключённых из цепи звеньев оказывается точно равно числу независимых контуров схемы. Каждый независимый контур получается присоединением к цепи соответствующего исключённого звена.

Пример выделения максимального дерева

Метки

• алгоритм расчет цепей при несинусоидальных периодических воздействиях
• алгоритм расчета цепей периодического несинусоидального тока
• баланс мощностей
• ВАХ нелинейного элемента
• Векторная диаграмма
• ветви связи
• взаимная индуктивность
• взаимная проводимость
• вольт-амперная характеристика нелинейного элемента
• второй закон Кирхгофа
• второй закон Кирхгофа для магнитных цепей
• входная проводимость
• гармоники напряжения
• гармоники тока
• Генератор напряжения
• генератор тока
• главные контуры
• графический метод расчета нелинейных электрических цепей
• динамическое сопротивление
• дифференциальное сопротивление
• емкость двухпроводной линии
• емкость коаксиального кабеля
• емкость конденсатора
• емкость однопроводной линии
• емкость плоского конденсатора
• емкость цилиндрического конденсатора
• закон Ампера
• закон Био Савара Лапласа
• закон Ома
• закон полного тока
• закон электромагнитной индукции
• Законы Кирхгофа
• индуктивность
• индуктивность двухпроводной линии
• индуктивность однопроводной линии
• индуктивность соленоида
• катушка со сталью
• Конденсатор в цепи постоянного тока
• контурные токи
• коэффициент амплитуды
• коэффициент гармоник
• коэффициент искажения
• коэффициент магнитной связи
• коэффициент мощности трансформатора
• коэффициент трансформации
• коэффициент формы
• кусочно-линейная аппроксимация
• магнитная постоянная
• магнитная цепь
• магнитный поток рассеяния
• метод активного двухполюсника
• метод двух узлов
• метод контурных токов
• метод наложения
• метод узловых напряжений
• метод узловых потенциалов
• метод эквивалентного генератора
• метод эквивалентного источника ЭДС
• Метод эквивалентных преобразований
• методы расчета магнитных цепей
• независимые контуры
• нелинейный элемент
• несинусоидальный периодический ток
• обобщенный закон Ома
• опорный узел
• основной магнитный поток
• параллельное соединение конденсаторов
• первый закон Кирхгофа
• первый закон Кирхгофа для магнитных цепей
• последовательное соединение конденсаторов
• последовательный колебательный контур
• постоянная составляющая тока
• потери в меди
• потери в стали
• приведенный трансформатор
• Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях
• принцип взаимности
• принцип компенсации
• расчет гармоник тока
• расчет магнитной цепи
• расчет нелинейных цепей постоянного тока
• расчет цепей несинусоидального тока
• Расчет цепи конденсаторов
• расчет цепи с несинусоидальными периодическими источниками
• Резонанс в электрической цепи
• решение задач магнитные цепи
• сила Ампера
• сила Лоренца
• Символический метод
• собственная проводимость
• статическое сопротивление
• сферический конденсатор
• теорема об эквивалентном источнике
• теорема Тевенена
• топографическая диаграмма
• Трансформаторы
• трехфазная система
• удельная энергия магнитного поля
• уравнения трансформатора
• Цепи с конденсаторами
• частичные токи
• чередование фаз
• ЭДС самоиндукции
• эквивалентная схема трансформатора
• электрическая постоянная
• электроемкость
• энергия магнитного поля