Андрей Смирнов
Время чтения: ~21 мин.
Просмотров: 0

Переходные процессы в электрических цепях

Начальные значения величин

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t=0.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации t=+{\displaystyle t=0_{+}} чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации t=−{\displaystyle t=0_{-}}.

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при t=+{\displaystyle t=0_{+}} в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При
рассмотрении схемы замещения цепи с
распределенными параметрами были
получены дифференциальные уравнения
в частных производных

;

(5)

(6)

Их
интегрирование с учетом потерь
представляет собой достаточно сложную
задачу. В этой связи будем считать цепь
линией без потерь, т.е. положим
и.
Такое допущение возможно для линий с
малыми потерями, а также при анализе
начальных стадий переходных процессов,
часто наиболее значимых в отношении
перенапряжений и сверхтоков.

С
учетом указанного от соотношений (5) и
(6) переходим к уравнениям

(7)

(8)

Для
получения уравнения (7) относительно
одной переменной продифференцируем
(7) по х, а (8) – по t:

;

(9)

.

(10)

Учитывая,
что для линии без потерь
,
после подстановки соотношения (10) в (9)
получим

.

(11)

Аналогично
получается уравнение для тока

.

(12)

Волновым
уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

;

.

Как
и ранее, прямые и обратные волны напряжения
и тока связаны между собой законом Ома
для волн

и,

где
.

При
расчете переходных процессов следует
помнить:

  1. В
    любой момент времени напряжение и ток
    в любой точке линии рассматриваются
    как результат наложения прямой и
    обратной волн этих переменных на
    соответствующие величины предшествующего
    режима.

  2. Всякое
    изменение режима работы цепи с
    распределенными параметрами обусловливает
    появление новых волн, накладываемых
    на существующий режим.

  3. Для
    каждой волны в отдельности выполняется
    закон Ома для волн.

Как указывалось, переходный процесс в
цепях с распределенными параметрами
характеризуется наложением многократно
отраженных волн. Рассмотрим многократные
отражения для двух наиболее характерных
случаев: подключение источника постоянного
напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой
линии.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение разомкнутой и замкнутой на конце линии

При
замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение
в начале линии сразу же достигает
величины
,
и возникают
прямые волны прямоугольной формы
напряженияи
тока,
перемещающиеся вдоль линии со скоростью
V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до
которых волна еще не дошла, напряжение
и ток равны нулю.Точка, ограничивающая
участок линии, до которого дошла волна,
называетсяфронтом волны.В
рассматриваемом случае во всех точках
линии, пройденных фронтом волны,
напряжение равно,
а ток -.

Отметим,
что в реальных условиях форма волны,
зависящая от внутреннего сопротивления
источника, параметров линии и т.п., всегда
в большей или меньшей степени отличается
от прямоугольной.

Кроме
того, при подключении к линии источника
с другим законом изменения напряжения
форма волны будет иной. Например, при
экспоненциальном характере изменения
напряжения источника (рис. 4,а) волна
будет иметь форму на рис. 4,б.

В
рассматриваемом примере с прямоугольной
волной напряжения при первом пробеге
волны напряжения и тока (см. рис. 3,а)
независимо от нагрузки имеют значения
соответственно
и,
что связано с тем, что волны еще не дошли
до конца линии, и, следовательно, условия
в конце линии не могут влиять на процесс.

В
момент времени
волны
напряжения и тока доходят до конца линии
длиной l, и нарушение однородности
обусловливает появление обратных
(отраженных) волн. Поскольку в конце
линия разомкнута, то

,

откуда
и.

В
результате (см. рис. 3,б) напряжение в
линии, куда дошел фронт волны, удваивается,
а ток спадает до нуля.

В
момент времени
,
обратная волна напряжения, обусловливающая
в линии напряжение,
приходит к источнику, поддерживающему
напряжение.
В результате возникает волна напряженияи
соответствующая волне тока(см.
рис. 3,в).

В
момент времени
волны
напряжения и тока подойдут к концу
линии. В связи с ХХи(см.
рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала
линии, напряжение и ток в ней окажутся
равными нулю. Следовательно, с этого
момента переходный процесс будет
повторяться с периодичностью.

В
случае короткозамкнутой на конце линии
в интервале времени
картина
процесса соответствует рассмотренной
выше. При,
поскольку в конце линиии,
что приведет к возрастанию тока в линии
за фронтом волны до величины.
Приот
источника к концу линии будет двигаться
волна напряженияи
соответствующая ей волна тока,
обусловливающая ток в линии, равный,
и т. д. Таким образом, при каждом пробеге
волны ток в линии возрастает на.

Отметим,
что в реальном случае, т.е. при наличии
потерь мощности, напряжение в линии в
режиме ХХ постепенно выйдет на уровень,
определяемый напряжением источника,
а ток в режиме КЗ ограничится активным
сопротивлением и проводимостью линии,
а также внутренним сопротивлением
источника.

2.4. Переходные функции (временные характеристики) элементов сау

Переходная
функция элемента или звена САУ представляет
собой график изменения во времени
выходной величины звена, вызванного
подачей на его вход единичного ступенчатого
воздействия. Аналитическое выражение
для переходной функции обозначают
h(t).При
подаче на вход ступенчатого воздействия
Хвх
=
const
в системе или звене будет возникать
переходный процесс Хвых
=
f(t).
Одним их способов получения кривой
переходного процесса является
использование обратного преобразования
Лапласа, в соответствии с которым
оригинал функции Хвых(t)может
быть получен в соответствии со следующим
выражением


(2.20)

Рис.
2.4

Виды
переходных процессов

t

Xвых

Переходные
процессы Хвых
=
f(t),описываемые
переходными функциями, крайне разнообразны.

Их
можно разбить на 3 основные вида (рис.2.4):

  1. монотонные,
    в которых первая производная выходной
    величины не меняет знак;

  2. колебательные
    периодические, в которых производная
    меняет знак теоретически бесконечное
    число раз;

  3. апериодические,
    протекающие без периодичности смены
    знака производной и имеющие ограниченное
    число экстремумов.

ПОНЯТИЕ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Установившимися называются процессы, при которых напряжения и токи в цепи являются неизменными (постоянными) или синусоидальными периодическими. Переходным называют процесс в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Такой процесс возникает, например, при резком изменении сопротивления цепи. Если в электрической цепи имеются только источники ЭДС или тока и активные сопротивления, то переход от одного установившегося режима к другому происходит мгновенно, т. е. без переходного процесса. Возникновение переходного процесса объясняется тем, что в индуктивностях и емкостях цепи энергия не может измениться мгновенно, т. е. скачком. Для того чтобы в цепи с индуктивностью или емкостью токи или напряжения перешли от одного установившегося значения к другому, требуется время.

Длительность переходного процесса теоретически равна бесконечности. В практических расчетах с погрешностью до 3% полагают эту длительность равной Зτ, где τ — постоянная времени цепи. В расчетах с погрешностью до 1 % длительность переходного процесса считают равной 5τ.

В основу расчетов переходных процессов положены законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком.

Второй закон коммутации: напряжение на емкости не может измениться скачком.

Физический смысл первого закона коммутации заключается в том, что запас энергии в индуктивности определяется током в ней, т. е.

WL = Li2/2.

Так как энергия не может изменяться скачком, то, следовательно, и ток в индуктивности не изменяется скачком.

Запас энергии в емкости определяется напряжением на ней, т. е.

WC = Cu2/2.

Так как энергия не может измениться скачком, то, следовательно, напряжение на емкости не изменяется скачком.

Рассмотрим простейший пример переходного процесса: включение RL-цепи на постоянное напряжение U с помощью ключа S (рис. 1а).

Рис. 1. Пример переходного процесса

В этом случае до замыкания ключа ток в цепи отсутствует (I∞1=0), т. е. первый (исходный) установившийся режим заключается в равенстве тока нулю. Второй установившийся режим заключается в прохождении по цепи тока I∞2= U/R (индуктивность для постоянного тока не представляет сопротивления). В переходном процессе ток i в цепи плавно возрастает по экспоненциальному закону от нулевого значения (первый режим) до значения U/R (второй режим).

Ток в цепи называется переходным и описывается выражением

Можно представить, что ток в цепи состоит из двух составляющих (рис. 1б):

iпр+iсв

где iпр = I∞2 —принужденный; iCB = I∞2e-tTa — свободный.

Здесь е = 2,72… — основание натуральных логарифмов; Ta=L/R —постоянная времени цепи.

На рис. 1б приведены временные диаграммы переходного тока и его принужденной и свободной составляющих.

В электрических сетях при КЗ Та = 0,3 + 0,01 с, в распределительных сетях Та=0,05 с.

Переходные процессы в сложных электрических цепях при включении на постоянное или синусоидальное питающее напряжение рассчитывают с помощью операционного исчисления, а при включении на напряжение произвольной формы — при помощи интеграла Дюамеля.

Процессы в цепях при прохождении по ним коротких импульсов (длительностью в единицы — сотни микросекунд) называются волновыми. Волновые процессы возникают, например, при ударах молнии в линию, а также при коммутациях (включениях и отключениях) электрических цепей с индуктивными или емкостными элементами. Опасность волновых процессов заключается в возможности появления во время их существования импульсных перенапряжений, не допустимых для изоляции электротехнического оборудования. С целью защиты оборудования от таких перенапряжений устанавливают специальные устройства — разрядники и ограничители перенапряжений (ОПН).

Как починить гнездо для зарядки телефона

Чтобы отремонтировать сломанное гнездо аккумулятора смартфона, необходимы следующие инструменты:

  • острый тонкий нож или пластиковая карта;
  • несколько маленьких крестовых отвёрток;
  • провод на минус;
  • новый USB-порт;
  • паяльник;
  • пинцет.

Пошаговая инструкция ремонта гнезда для зарядки:

  1. Разбираем корпус портативного гаджета, используя при этом отвёртки и острый тонкий нож или пластиковую карту.
  2. Обязательно следует припаять провод на минус с корпусом телефона, а второй конец присоединить к паяльнику. Это действие поможет избежать удара током.
  3. Маленькой крестовой отвёрткой нужно извлечь винты, которые придерживают материнскую плату устройства.
  4. Достать открученное комплектующие.
  5. Найти USB-разъём на материнской плате.
  6. Аккуратно извлечь сломанное гнездо зарядки при помощи паяльника.
  7. Впаять новый USB-порт.

После выполнения всех этапов собираем мобильное устройство в единое целое. Если инструкция была выполнена правильно, то зарядка телефона будет проходить без проблем.

2.1.1. Основные понятия о переменном токе

Переменным
называется ток (ЭДС и напряжение),
периодически изменяющий свои направления
и величину. Полный период изменения
тока называется обычно периодом
переменного тока и обозначается буквой
T, а число периодов в одну секунду
называется частой f и определяется как:

f
=
.

Единица
измерения частоты
носит название герц (Гц).

В
более узком смысле под переменным током
принято понимать такой периодически
изменяющийся ток, среднее значение
которого за период равно нулю (рис.
2.1).

Рис.
2.1

В
области производства, передачи энергии
переменный ток имеет по сравнению с
постоянным два основных преимущества:

1)
возможность (при помощи трансформаторов)
просто и экономично повышать и понижать
напряжение, что имеет решающее значение
для передачи энергии на большие
расстояния;

2)
конструктивную простоту устройства
электродвигателей и генераторов, что
обуславливает их меньшую стоимость при
более высокой эксплуатационной
надёжности. Источниками электрической
энергии в цепях переменного тока являются
генераторы переменного тока.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации iL(−){\displaystyle i_{L}(0_{-})}, равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{+})}, так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

iL(−)=iL()=iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+})}

Второй закон коммутации

Напряжение на конденсаторе С непосредственно до коммутации uC(−){\displaystyle u_{C}(0_{-})} равно напряжению во время коммутации и напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{+})}, так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

uC(−)=uC()=uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+})}

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание

  1. t=−{\displaystyle t=0_{-}} — время непосредственно до коммутации.
  2. t={\displaystyle t=0} — непосредственно во время коммутации.
  3. t=+{\displaystyle t=0_{+}} — время непосредственно после коммутации.

Характеристики

Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Широкое применение нашло экспериментальное и аналитическое определение и построение переходных процессов для наиболее неблагоприятных условий работы динамической системы при внешних возмущениях типа дельта-функции, ступенчатом или синусоидальных воздействиях.

Оценка качества САУ по виду кривой переходного процесса производится при помощи так называемых прямых показателей качества — перерегулирования, допустимого числа колебаний и времени переходного процесса. Обычно рассматривают переходный процесс, возникающий в системе при воздействии единичной ступенчатой функции, т. е. переходная функция замкнутой системы.

Время переходного процесса

Длительность переходного процесса в системе характеризует её быстродействие, а его характер определяет качество системы. За количественную характеристику длительности переходного процесса принимают время, необходимое выходному сигналу системы для того, чтобы приблизиться к своему установившемуся значению, т. е. время, по истечению которого выполняется равенство:

|h(t)−hst|⩽ϵ,{\displaystyle |h(t)-h_{st}|\leqslant \epsilon ,}
где hst{\displaystyle h_{st}} — установившееся значение;
ϵ{\displaystyle \epsilon } — наперёд заданное положительное число.

В линейных непрерывных динамических системах принято рассматривать переходной процесс, вызванный единичным ступенчатым возмущением, но в этом случае установившееся значение достигается за бесконечно большое время. Если же ограничить точность достижения установившегося значения некоторой малой величиной ϵ{\displaystyle \epsilon }, то тогда длительность переходного процесса t{\displaystyle t} будет конечной величиной.

В приложениях теории управления обычно в САУ принимают ϵ{\displaystyle \epsilon } равной 0,01—0,05 от hst{\displaystyle h_{st}}, т. е. переходный процесс считают закончившимся, когда переходная функция отличается не более, чем на 1–5 % от своего установившегося (стационарного) значения.

Перерегулирование

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и её установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

Степень затухания переходного процесса

Степень затухания переходного процесса определяется относительным уменьшением соседних амплитуд переходной характеристики.

Числителем является амплитуда первого колебания. Степень затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда второго колебания по сравнению с первым.

Степень затухания системы зависит от показателя колебательности M{\displaystyle M} (см. ниже).

Логарифмический декремент колебания

Логарифмический декремент колебания — натуральный логарифм отношения амплитуд двух соседних перерегулирований. Обратная ему величина показывает, за какое число колебаний их амплитуда уменьшается в e{\displaystyle e} раз (e{\displaystyle e} — основание натуральных логарифмов). Уместен лишь для характеристики линейных систем.

Колебательность

Характеризует склонность системы к колебаниям и определяется как модуль отношения амплитуд второго колебания к амплитудам первого колебания. Колебательность системы характеризуют при помощи показателя колебательности M{\displaystyle M}, который представляет собой отношение резонансного пика при резонансной частоте к значению АЧХ при нулевой частоте.

Показатель колебательности связан со степенью колебательности формулой:

M=1+m22m.{\displaystyle M={\frac {1+m^{2}}{2m}}.}

При увеличении M{\displaystyle M}, уменьшается показатель колебательности m{\displaystyle m} и соответственно происходит уменьшение степени колебательности.

Установившаяся ошибка

Установившаяся ошибка системы — разница между предполагаемым и реальным значением выходного сигнала при времени, стремящемся к бесконечности. В идеальных астатических системах установившаяся ошибка равна нулю.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации iL(−){\displaystyle i_{L}(0_{-})}, равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{+})}, так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

iL(−)=iL()=iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+})}

Второй закон коммутации

Напряжение на емкостном элементе С непосредственно до коммутации uC(−){\displaystyle u_{C}(0_{-})} равно напряжению во время коммутации, и напряжению на емкостном элементе непосредственно после коммутации uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{+})}, так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

uC(−)=uC()=uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+})}

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание

  1. t=−{\displaystyle t=0_{-}} — время непосредственно до коммутации.
  2. t={\displaystyle t=0} — непосредственно во время коммутации.
  3. t=+{\displaystyle t=0_{+}} — время непосредственно после коммутации.

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).

При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.

При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

Дополнительно по теме

  • Возникновение переходных процессов и законы коммутации
  • Переходный, установившийся и свободный процессы
  • Короткое замыкание rL-цепи
  • Включение rL-цепи на постоянное напряжение
  • Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение
  • Короткое замыкание rС-цепи
  • Включение rC-цепи на постоянное напряжение
  • Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение
  • Переходные процессы в rС-цепи
  • Апериодическая разрядка конденсатора
  • Предельный случай апериодической разрядки конденсатора
  • Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора
  • Включение rLC-цепи на постоянное напряжение
  • Общий случай расчета переходных процессов классическим методом
  • Пример классического метода
  • Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью
  • Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения
  • Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы
  • Переходная и импульсная переходная характеристики
  • Запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики
  • Метод переменных состояния
  • Численные методы решения уравнений состояния
  • Дискретные модели электрической цепи
  • Переходные процессы при некорректных коммутациях
  • Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

1.1. Общие сведения

Процесс
перехода режима работы электрической
цепи от одного к другому называется
переходным.
В течение переходного процесса мгновенные
значения напряжений и токов не являются
периодическими функциями времени.

Переходный
процесс может быть вызван различными
причинами: например, подключением цепи
к источникам, изменением параметров
элементов или схемы цепи. В общем случае
в электротехнике принято, что возникновение
переходного процесса связано с явлением
коммутации.
Принимается допущение, что коммутация
начинается в момент времениt
(обычноt

0) и совершается мгновенно:t

0. При этом различают два момента
времени: момент времени

непосредственно
предшествующий коммутации–
обозначается как,
или,
или,
или;
и момент времени непосредственно
после коммутации – обозначается как,
или,
или,
или.

На рис. 1.1 показан
характер изменения тока и напряжения
на участке цепи. В момент времени t

0 произошла коммутация. Напряжение
в моменткоммутации
не изменилось:
,
ток – изменился скачком:

Рис. 1.1

.

Энергия
,
запасенная в магнитном поле индуктивностиL(здесь
потокосцепление индуктивности), и
энергия,
запасенная в электрическом поле емкостиС(электрический зарядq

CuC), не могут изменяться мгновенно, так
как в противном случае мощностьпринимала бы бесконечно большое значение,
что физически невозможно.

При мгновенной
коммутации WМ(–0)

WМ(+0);
WЭл(–0)

WЭл(+0),
т. е. энергия, запасенная в магнитном
или электрическом поле, в момент
коммутации скачком не меняется. Это
положение постулируетсяпринципами
непрерывности потокосцепления
индуктивности и электрического заряда
q
емкости
. Действительно, при скачкообразном
изменении потокосцеплениянапряжение,а при скачкообразном
изменении электрического зарядаqток емкости.
То и другое лишено физического смысла.

Поскольку
,
то при неизменномLток в индуктивности не может меняться
скачком. Отсюда следует закон коммутации
для ветви с индуктивностью:в
момент коммутации ток в ветви с
индуктивностью скачком не меняется и
в переходном процессе начинает изменяться
с того значения, которое было в момент
времени, непосредственно предшествующий
коммутации
, т. е..

Из равенства q

CuCследует, что при неизменной величинеС
напряжениеuСне может меняться скачком. Отсюда следует
закон коммутации для емкости:в
момент коммутации напряжение на емкости
скачком не меняется и в переходном
процессе начинает изменяться с того
значения, которое было в момент времени,
непосредственно предшествующий
коммутации
, т. е..

Значения
тока в индуктивности
и напряжения на емкостиназываютсянезависимыми
физическими начальными условиями
.

Математическая
модель цепи в переходном процессе
строится на основе
уравнений по
законам Кирхгофа и уравнений идеальных
элементов R,
L,
C.
Если положительные
направления напряжения и тока на элементе
одинаковы, то уравнения идеальных
элементов имеют вид:

для активного
сопротивления (резистора);

  • или
    для индуктивности;

  • или
    для емкости.

Для
идеальных элементов R
и
C
ток в момент коммутации может меняться
скачком:

;
.

Для
идеальных элементовR
и
L
в момент коммутации могут меняться
скачком напряжения:

;
.

Значения
;;;называютсязависимыми
физическими начальными условиями
.

Начальные значения величин

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t=0.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации t=+{\displaystyle t=0_{+}} чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации t=−{\displaystyle t=0_{-}}.

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при t=+{\displaystyle t=0_{+}} в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

Об этом курсе

Недавно просмотрено: 2,770

В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях.

Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем.

Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями.

Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.

Сертификат, ссылками на который можно делиться с другими людьми

Сертификат, ссылками на который можно делиться с другими людьми
Получите сертификат по завершении

100% онлайн

100% онлайн
Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Гибкие сроки
Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Часов на завершение
Прибл. 26 часов на выполнение

Доступные языки

Русский
Субтитры: Русский

Переходный процесс

Время
t=nT

Выходная величина
y

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

и т.д.

0.64

1.25

1.42

1.34

1.20

1.11

1.08

Рис. 1.17. График
переходного процесса

Переходный
процесс в импульсной системе может быть
получен в результате решения разностного
уравнения системы относительно дискретных
значений входной g и выходной y
координаты. Разностное уравнение
определяется на основании дискретной
передаточной функции замкнутой импульсной
системы Ф(z) и имеет следующий вид (1.42)

ay+a1y+…+amy[nm]=bg+b1g+…+blg[nl],
(1.103)

при
m
l
и y 
0, f 
0 для всех n < 0.

Решение его
представляет собой рекуррентную формулу:

;
n=0, 1, 2, … (1.104)

для
нулевых начальных условий y 
0 и g 
0 при n < 0.

Формула (1.104)
используется и для расчета переходных
процессов в непрерывных системах после
дискретизации их дифференциальных
уравнений.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации iL(−){\displaystyle i_{L}(0_{-})}, равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{+})}, так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

iL(−)=iL()=iL(+){\displaystyle i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+})}

Второй закон коммутации

Напряжение на конденсаторе С непосредственно до коммутации uC(−){\displaystyle u_{C}(0_{-})} равно напряжению во время коммутации и напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{+})}, так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

uC(−)=uC()=uC(+){\displaystyle u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+})}

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание

  1. t=−{\displaystyle t=0_{-}} — время непосредственно до коммутации.
  2. t={\displaystyle t=0} — непосредственно во время коммутации.
  3. t=+{\displaystyle t=0_{+}} — время непосредственно после коммутации.

Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла
Дюамеля применяется для расчета
переходных процес­сов в элек­три­ческих
цепях в том случае, если в рассматриваемой
цепи действует источник ЭДС
про­извольной формы, отличной от
стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику
ЭДС произвольной формы
подключается цепь с нулевыми на­чальными
условиями и с заданной переходной
проводимостью(рис. 4).

Заменим
непрерывную кривую ЭДСприближенно ступенчатой с ин­тервалами
по осимежду отдельными скачками, равными.
Первый скачок ЭДС равени дей­ст­вует в момент.
Все последующие скачки ЭДС можно
определить каки действуют они с запаздыва­нием на,
то есть в момент.
Ток на выходе цепи в произвольный мо­мент
времениtможно рассматривать в
соответствии с принципом наложения как
сумму частичных токов, возникающих под
действием отдельных скачков ЭДС,
следующих друг за другом через промежуткив
интервале времени от 0 доt.

Частичный ток,
вызванный первым источником ЭДС, будет
равен
,
а час­тичные токи, вызванные последующими
скачками ЭДС, будут равны:.

Результирующий
ток равен сумме частичных токов:

.

Перейдем к бесконечно
малым интервалам
и заменим сумму интегралом:

.

Полученное выражение
для
носит название интеграла Дюамеля и
применяется на практике для расчета
переходных процессов в электрических
цепях при воздействии на них источников
ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения
интеграла Дюамеля:

  1. Выполняют
    расчет переходного процесса классическим
    или опера­торным ме­тодом при
    включении исследуемой цепи к источнику
    единичной по­стоянной ЭДС
    и таким образом определяют необходимую
    переходную функцию по токуили по напря­же­нию.

  2. Определяют
    переходную функцию
    илипутем за­мены в выра­женияхилипеременнойна.

  3. Находят
    производную от функции ЭДС
    и в получен­ном выраже­нии заменяют
    переменнуюtна,
    в результате получают функцию.

  4. Выражения
    функций
    ,илиподставляют в фор­мулу инте­грала
    Дюамеля, выполняют интегрирование по
    переменнойи под­ставляют пределы интег­риро­вания
    по переменнойt. При необходимости
    упро­щают структуру полученного
    выраже­ния искомой функцииили.

Замечания:

  1. Если
    функция
    претерпевает скачки или разрывы, то
    она разби­вается на от­дельные
    участки с плавным изменением функции,
    при этом инте­грал Дюамеля применяется
    к каждому участку в отдельности.

  2. При
    расчете переходных процессов в цепях
    постоянного или сину­соидального
    тока метод интеграла Дюамеля проигрывает
    классическому и опе­раторному методам,
    по­этому для таких цепей он не
    применяется.

Пример.
Рассчитать токв цепиR, Cпри действии на нее
трапецие­видного им­пульса с
заданными параметрами (рис. 152):

Переходная
проводимость схемы:

;
.

Производная от
функции ЭДС
:;.

Так как функция
в момент времениизменяется скачком, то ее разбиваем на
два участка,
для каждого из которых находим свое
решение для искомой функ­ции.

Решение для
:

Решение
для
:

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Максим Иванов
Наш эксперт
Написано статей
129
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации