Частота

Векторное представление в трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

ω=dφdt,{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим против часовой стрелки.

Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

Угловая скорость

Когда тело движется по окружности, то не все его точки движутся с одинаковой скоростью относительно оси вращения. Если взять лопасти обычного бытового вентилятора, которые вращаются вокруг вала, то точка расположенная ближе к валу имеет скорость вращения больше, чем отмеченная точка на краю лопасти. Это значит, у них разная линейная скорость вращения. В то же время угловая скорость у всех точек одинаковая.

Угловая скорость представляет собой изменение угла в единицу времени, а не расстояния. Обозначается буквой греческого алфавита – ω и имеет единицу измерения радиан в секунду (рад/с). Иными словами, угловая скорость – это вектор, привязанный к оси обращения предмета.

Формула для вычисления отношения между углом поворота и временным интервалом выглядит так:

где:

• ω – угловая скорость (рад./с);
• ∆ϕ – изменение угла отклонения при повороте (рад.);
• ∆t – время, затраченное на отклонение (с).

Обозначение угловой скорости употребляется при изучении законов вращения. Оно употребляется при описании движения всех вращающихся тел.

Угловая скорость в конкретных случаях

На практике редко работают с величинами угловой скорости. Она нужна при конструкторских разработках вращающихся механизмов: редукторов, коробок передач и прочего.

Вычислить её, применяя формулу, можно. Для этого используют связь угловой скорости и частоты вращения.

где:

• π – число, равное 3,14;
• ν – частота вращения, (об./мин.).

В качестве примера могут быть рассмотрены угловая скорость и частота вращения колёсного диска при движении мотоблока. Часто необходимо уменьшить или увеличить скорость механизма. Для этого применяют устройство в виде редуктора, при помощи которого понижают скорость вращения колёс. При максимальной скорости движения 10 км/ч колесо делает около 60 об./мин. После перевода минут в секунды это значение равно 1 об./с. После подстановки данных в формулу получится результат:

ω = 2*π*ν = 2*3,14*1 = 6,28 рад./с.

К сведению. Снижение угловой скорости часто требуется для того, чтобы увеличить крутящий момент или тяговое усилие механизмов.

Как определить угловую скорость

Принцип определения угловой скорости зависит от того, как происходит движение по окружности. Если равномерно, то употребляется формула:

Если нет, то придётся высчитывать значения мгновенной или средней угловой скорости.

Величина, о которой идёт разговор, векторная, и при определении её направления используют правило Максвелла. В просторечии – правило буравчика. Вектор скорости имеет одинаковое направление с поступательным перемещением винта, имеющего правую резьбу.

Рассмотрим на примере, как определить угловую скорость, зная, что угол поворота диска радиусом 0,5 м меняется по закону ϕ = 6*t:

ω = ϕ / t = 6 * t / t = 6 с-1

Вектор ω меняется из-за поворота в пространстве оси вращения и при изменении значения модуля угловой скорости.

Свойства

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки (вектор угловой скорости направлен навстречу направлению взгляда наблюдателя)

Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}}, определяется формулой:

v→= ω→,r→ ,{\displaystyle {\vec {v}}=,}

где r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом расстоянии (радиусе) r{\displaystyle r} от оси вращения можно считать так: v=rω.{\displaystyle v=r\omega .} Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

• В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
• Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
• Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
• Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
• В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

ω→=r→×v→(r→,r→),{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{({\vec {r}},{\vec {r}})}},} где r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор точки (из начала координат), v→{\displaystyle {\vec {v}}} — скорость этой точки, r→×v→{\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {v}}} — векторное произведение, (r→,r→){\displaystyle ({\vec {r}},{\vec {r}})} — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы ω→,{\displaystyle {\vec {\omega }},} подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как даёт разные ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твёрдого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с) модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах ω=f.{\displaystyle \omega =f.} В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости численно связан с частотой вращения так: ω=2πf.{\displaystyle \omega ={2\pi f}.} Наконец, при использовании градусов в секунду численная связь с частотой вращения будет: ω=360∘f.{\displaystyle \omega ={360^{\circ }f}.}

Что дает преобразователь?

Необходимость использования регулятора оборотов электродвигателя в случае асинхронных моделей состоит в следующем:

Достигается значительная экономия электрической энергии. Поскольку не всякое оборудование требует высоких скоростей вращения моторного вала, ее имеет смысл снизить на четверть.

Обеспечивается надежная защита всех механизмов. Преобразователь частоты позволяет контролировать не только температуру, но и давление и прочие параметры системы. Этот факт особенно важен, если при помощи двигателя приводится в действие насос.

Совершается плавный пуск. Благодаря регулятору снимается необходимость использования дополнительных электронных устройств. Частотный преобразователь легко настроить и получить желаемый эффект.

Снижаются расходы на техническое обслуживание, поскольку регулятор сводит к минимуму риски поломки привода и других механизмов.

Таким образом электродвигатели с регулятором оборотов оказываются надежными устройствами с широкой сферой применения.

Важно помнить, что эксплуатация любого оборудования на основе электрического мотора только тогда окажется правильной и безопасной, когда параметр частоты вращения будет адекватен условиям использования.

Как рассчитать передаточное число

Шестерня и колесо имеют разное количество зубов с одинаковым модулем и пропорциональный размер диаметров. Передаточное число показывает, сколько оборотов совершит ведущая деталь, чтобы провернуть ведомую на полный круг. Зубчатые передачи имеют жесткое соединение. Передающееся количество оборотов в них не меняется. Это негативно сказывается на работе узла в условиях перегрузок и запыленности. Зубец не может проскользнуть, как ремень по шкиву и ломается.

Расчет без учета сопротивления

В расчете передаточного числа шестерен используют количество зубьев на каждой детали или их радиусы.

u₁₂ = ± Z₂/Z₁ и u₂₁ = ± Z₁/Z₂,

Где u₁₂ – передаточное число шестерни и колеса;

Z₂ и Z₁ – соответственно количество зубьев ведомого колеса и ведущей шестерни.

Знак «+» ставится, если направление вращения не меняется. Это относится к планетарным редукторам и зубчатым передачам с нарезкой зубцов по внутреннему диаметру колеса. При наличии паразиток – промежуточных деталей, располагающихся между ведущей шестерней и зубчатым венцом, направление вращения изменяется, как и при наружном соединении. В этих случаях в формуле ставится «–».

При наружном соединении двух деталей посредством расположенной между ними паразитки, передаточное число вычисляется как соотношение количества зубьев колеса и шестерни со знаком «+». Паразитка в расчетах не участвует, только меняет направление, и соответственно знак перед формулой.

Обычно положительным считается направление движения по часовой стрелке. Знак играет большую роль при расчетах многоступенчатых редукторов. Определяется передаточное число каждой передачи отдельно по порядку расположения их в кинематической цепи. Знак сразу показывает направление вращения выходного вала и рабочего узла, без дополнительного составления схем.

Вычисление передаточного числа редуктора с несколькими зацеплениями – многоступенчатого, определяется как произведение передаточных чисел и вычисляется по формуле:

u₁₆ = u₁₂×u₂₃×u₄₅×u₅₆ = z₂/z₁×z₃/z₂×z₅/z₄×z₆/z₅ = z₃/z₁×z₆/z₄

Зубчатое зацепление жесткое. Детали не могут проскальзывать относительно друг друга, как в ременной передаче и менять соотношение количества вращений. Поэтому на выходе обороты не изменяются, не зависят от перегруза. Верным получается расчет скорости угловой и количества оборотов.

КПД зубчатой передачи

Для реального расчета передаточного отношения, следует учитывать дополнительные факторы. Формула действительна для угловой скорости, что касается момента силы и мощности, то они в реальном редукторе значительно меньше. Их величину уменьшает сопротивление передаточных моментов:

• трение соприкасаемых поверхностей;
• изгиб и скручивание деталей под воздействием силы и сопротивление деформации;
• потери на шпонках и шлицах;
• трение в подшипниках.

Для каждого вида соединения, подшипника и узла имеются свои корректирующие коэффициенты. Они включаются в формулу. Конструктора не делают расчеты по изгибу каждой шпонки и подшипника. В справочнике имеются все необходимые коэффициенты. При необходимости их можно рассчитать. Формулы простотой не отличаются. В них используются элементы высшей математики. В основе расчетов способность и свойства хромоникелевых сталей, их пластичность, сопротивление на растяжение, изгиб, излом и другие параметры, включая размеры детали.

Что касается подшипников, то в техническом справочнике, по которому их выбирают, указаны все данные для расчета их рабочего состояния.

При расчете мощности, основным из показателей зубчатых зацепления является пятно контакта, оно указывается в процентах и его размер имеет большое значение. Идеальную форму и касание по всей эвольвенте могут иметь только нарисованные зубья. На практике они изготавливаются с погрешностью в несколько сотых долей мм. Во время работы  узла под нагрузкой на эвольвенте появляются пятна в местах воздействия деталей друг на друга. Чем больше площадь на поверхности зуба они занимают, тем лучше передается усилие при вращении.

Все коэффициенты объединяются вместе, и в результате получается значение КПД редуктора. Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Он определяется соотношением мощности на входном и выходном валах. Чем больше зацеплений, соединений и подшипников, тем меньше КПД.

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Какие параметры важны при выборе болгарки

Размер рабочего диска

Диаметр диска является основным показателем способности болгарки к выполнению определённых операций. Чем больше размер режущего круга, тем мощнее и быстроходнее должна быть болгарка. Диаметр отверстия в круге (посадочный размер) стандартный: 22,2 мм.

Для УШМ производится пять стандартных типов дисков, различающихся по размерам:

• Диск диаметром 115 мм. Предназначен для резки материалов малой толщины, для обработки (шлифовки, полировки) небольших поверхностей. Максимальная глубина пропила составляет около 30 мм.
• Диск диаметром 125 мм. Один из самых популярных размеров для бытового применения. Глубина пропила составляет около 40 мм. Под этот размер выпускается большое количество разнообразных насадок и дополнительной оснастки.
• Диск диаметром 150 мм. Чаще всего применяется в монтажных работах как подсобное средство. Ходовой размер для нарезки металлических и пластиковых труб при сантехнических и электромонтажных работах.
• Диск диаметром 180 мм. Полупрофессиональный размер. Предполагает работы в режиме «нон-стоп». Режущая кромка составляет 50 мм. Широко используется при ремонтно-строительных работах.
• Диаметр диска 230 мм. Используется в профессиональных болгарках, мощностью до 2,5 кВт. Для бытовых нужд практически не применяется — устройства слишком громоздкие.

В продаже имеются десятки кругов для различных видов работ

Мощность двигателя углошлифовальной машинки

Чем больше мощность двигателя, тем большее усилие развивает инструмент, тем более плотные материалы он способен разрезать. С увеличением мощности растёт вес прибора. Промышленность выпускает инструмент с моторами от 0,5 до 3 кВт. Для дома и дачи рекомендуется выбирать УШМ с мощностью двигателя от 0,8 до 1,2 кВт. Более мощный механизм труднее удержать в руках, при работе он потребляет больше электричества.

Профессиональный инструмент рассчитан на длительную работу, он обладает более высоким эксплуатационным ресурсом. Если на даче планируется масштабное строительство, резка стальных прутков, сборка опалубки — можно применить инструмент с мотором до 1,5 кВт.

Скорость вращения диска

В болгарках скорость вращения рабочего вала варьируется от 2,5 до 12 тысяч оборотов в минуту. Рабочий диапазон находится в пределах от 3000 до 6000 об./мин. Как правило, производитель задаёт для своей машины оптимальную скорость вращения в зависимости от мощности мотора, и закладывает этот параметр на стадии конструирования.

Угловые шлифовальные машины высокого класса снабжены регулятором числа оборотов рабочего вала. Эта регулировка особенно актуальна при частой смене дисков. Например, при вращении диска диаметром 230 мм с частотой 10 тыс. оборотов в минуту удержать инструмент в руках будет очень непросто.

Дополнительные возможности

Дополнительные возможности, предлагаемые производителем, позволят сделать работу с болгаркой удобной и безопасной:

• Плавный запуск двигателя. Очень полезная функция — диск раскручивается до рабочей скорости мягко, без «взрывного» рывка на старте.
• Автоматическая балансировка диска. Снижает вибрацию инструмента в руках. Особенно помогает в работе при использовании неравномерно изношенного диска.
• Количество рукоятей. Для бытовых болгарок предусмотрено, как правило, два резьбовых отверстия и одна ручка, которую можно переставлять. Это очень удобно, если нужно сменить руку при работе, чтобы добраться в узкое место.
• Регулировка скорости вращения. Электронная схема поддерживает постоянную скорость вращения вала двигателя, независимо от нагрузки на диск. Работа идёт быстрее, мотор и редуктор прослужат дольше.
• Наличие системы защиты от пыли. Важная функция для работ по бетону — редуктор и вал защищены от попадания частиц цемента, увеличивается срок службы инструмента.
• Возможность подключения строительного пылесоса. Наряду с персональными средствами защиты — респиратором, очками и перчатками — повышает комфортность и безопасность работы. Рабочее место останется чистым.
• Фиксация кнопки пуска. При длительных режимах работы, таких как шлифовка или полировка, оператору не нужно удерживать кнопку нажатой в рабочем положении.
• Автоматическое отключение питания. Если в процессе работы вырубили свет, автомат обесточивает инструмент, чтобы он не завёлся сам при восстановлении энергоснабжения.

Хорошая болгарка уложена в кейс, снабжена ключом и дисками

Корректируем обороты

Работа с разнообразным электрическим инструментом и оборудованием в быту или на производстве непременно ставит вопрос о том, как регулировать обороты электродвигателя.  Например, становится необходимым изменить скорость передвижения деталей в станке или по конвейеру, скорректировать производительность насосов, уменьшить или увеличить расход воздуха в вентиляционных системах.

Осуществлять указанные процедуры за счет понижения напряжения практически бессмысленно, обороты будут резко падать, существенно снизится мощность устройства. Поэтому используются специальные устройства, позволяющие корректировать обороты двигателя. Рассмотрим их более подробно.

Микроконтроллер управляет всем процессом работы преобразователя

Благодаря такому подходу появляется возможность добиться плавного повышения оборотов двигателя, что крайне важно в механизмах с большой нагрузкой. Медленный разгон снижает нагрузки, положительно сказываясь на сроке службы производственного и бытового оборудования.

Все преобразователи оснащаются защитой, имеющей несколько степеней.  Часть моделей работает за счет однофазного напряжения в 220 В. Возникает вопрос, можно ли сделать так, чтобы трехфазный мотор вращался благодаря одной фазе? Ответ окажется положительным при соблюдении одного условия.

При подаче однофазного напряжения на обмотку требуется осуществить «толчок» ротора, поскольку сам он не сдвинется с места. Для этого нужен пусковой конденсатор. После начала вращения двигателя оставшиеся обмотки будут давать недостающее напряжение.

Существенным минусом такой схемы считается сильный перекос фаз. Однако он легко компенсируется включением в схему автотрансформатора. В целом, это довольно сложная схема. Преимущество же частотного преобразователя заключается в возможности подключения моторов асинхронного типа без применения сложных схем.

Угол поворота и период обращения

Рассмотрим точку А на предмете, вращающимся вокруг своей оси. При обращении за какой-то период времени она изменит своё положение на линии окружности на определённый угол. Это угол поворота. Он измеряется в радианах, потому что за единицу берётся отрезок окружности, равный радиусу. Ещё одна величина измерения угла поворота – градус.

Когда в результате поворота точка А вернётся на своё прежнее место, значит, она совершила полный оборот. Если её движение повторится n-раз, то говорят о некотором количестве оборотов. Исходя из этого, можно рассматривать 1/2, 1/4 оборота и так далее. Яркий практический пример этому – путь, который проделывает фреза при фрезеровании детали, закреплённой в центре шпинделя станка.

Внимание! Угол поворота имеет направление. Оно отрицательное, когда вращение происходит по часовой стрелке и положительное при вращении против движения стрелки

Если тело равномерно продвигается по окружности, можно говорить о постоянной угловой скорости при перемещении, ω = const.

В этом случае находят применения такие характеристики, как:

• период обращения – T, это время, необходимое для полного оборота точки при круговом движении;
• частота обращения – ν, это полное количество оборотов, которое совершает точка по круговой траектории за единичный временной интервал.

Интересно. По известным данным, Юпитер обращается вокруг Солнца за 12 лет. Когда Земля за это время делает вокруг Солнца почти 12 оборотов. Точное значение периода обращения круглого гиганта – 11,86 земных лет.

Мощность на быстроходном валу редуктора

Р₁
=
Р’_эд
·h_м=
8,83·0,98=8,65 кВт;

Мощность
на промежуточном валу редуктора

Р₂₃=
Р₁·h₁₂·h_П=
8,65·0,97·0,99= 8,30 кВт;

Мощность
на тихоходном валу редуктора

Р₄₅
= Р₂₃·h₃₄·h_П
= 8,30·0,96·0,99 = 7,88 кВт;

Мощность
на валу барабана

Р₆
= Р₄₅·h₅₆·h_П
= 7,88·0,96·0,99 = 7,48 кВт.

2.5
Определение крутящих моментов на валах

Крутящий
момент на входном валу редуктора

Т₁=
Р₁/
₁
= 8,65 / 99,43= 86,99 Нм;

На
промежуточном валу редуктора

Т₂₃
=
Р₂₃
/ ₂₃=
8,30/ 29,07 =285,51 Нм;

На
выходном валу редуктора

Т₄₅
=
Р₄₅
/ ₄₅=
7,88/8,30 = 949,39 Нм.

На
валу барабана

Т₆
=
= Р₆
/ ₆=
7,48/1,84= 4065,21 Нм.

Результаты
расчета сводим в таблицу:

Индекс передачи	Передаточное число	Индекс вала	Частота вращения, об/мин	Угловая скорость, с-1	Мощность кВт	Крутящий момент, Нм
1-2	U12=3,43	1	n1=950		Р1=8,65
2-3	n23=277,77		Р23=8,30
3-4	U34=3,5
4-5	n45=79,36		Р45=7,88
5-6	U56=4,5
6	n6=17,63		Р6=7,48

Таблица
2.1 — Основные кинематические и силовые
параметры привода