Применения силы лоренца

Правило буравчика

Магнитное поле электрического тока

Вокруг проводника с током образуется магнитное поле, так что свободно вращающаяся магнитная стрелка, помещенная вблизи проводника, будет стремиться занять положение, перпендикулярное плоскости, проходящей вдоль него. В этом легко убедиться, проделав следующий опыт.Магнитное поле прямого проводника с током В отверстие горизонтально положенного листа картона вставляют прямолинейный проводник и пропускают через него ток. Насыпают на картон железные опилки и убеждаются в том, что они располагаются концентрическими окружностями, имеющими общий центр в точке пересечения проводником картонного листа. Магнитная стрелка, подвешенная на нити вблизи этого проводника, займет положение, указанное на рисунке. При изменении направления тока в проводнике магнитная стрелка повернется на угол 180°, оставаясь в положении, перпендикулярном плоскости, проходящей вдоль проводника. В зависимости от направления тока в проводнике направление магнитных линий образуемого им магнитного поля определяется правилом буравчика, которое формулируется следующим образом:

Если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то вращательное движение его рукоятки указывает направление магнитных линий поля, образующегося вокруг этого проводника.

Если по проволоке, согнутой в виде кольца, пропустить ток, то под действием его также возникнет магнитное поле. Проволока, согнутая спирально и состоящая из нескольких витков, расположенных так, что оси их совпадают, называется соленоидом.

Магнитное поле соленоида

При прохождении тока через обмотку соленоида или один виток проволоки возбуждается магнитное поле. Направление этого поля также определяется правилом буравчика. Если расположить ось буравчика перпендикулярно плоскости кольцевого проводника или вдоль оси соленоида и вращать его рукоятку по направлению тока, то поступательное движение этого буравчика укажет направление магнитных линий поля кольца или соленоида. Магнитное поле, возбужденное током обмотки соленоида, подобно магнитному полю постоянного магнита, т. е. конец соленоида, из которого выходят магнитные линии, является его северным полюсом, а противоположный конец — южным. Направление магнитного поля зависит от направления тока и при изменении направления тока в прямолинейном проводнике или в катушке изменится также направление магнитных линий поля, возбуждаемого этим током. В однородном магнитном поле во всех точках поле имеет одинаковое направление и одинаковую интенсивность. В противном случае поле называется неоднородным. Графически однородное магнитное поле изображают параллельными линиями с одинаковой плотностью, например, в воздушном зазоре между двумя разноименными параллельно расположенными полюсами магнита.

(Подробно и доходчиво в видеокурсе «В мир электричества — как в первый раз!»)

• Назад
• Вперёд

Уравнение (единицы СИ)

Заряженная частица

Сила Лоренца f{\displaystyle f} действующая на заряженную частицу (заряда q{\displaystyle q}) при движении (со скоростью v{\displaystyle v}). E{\displaystyle \mathbf {E} } поле и B{\displaystyle B} поле меняются в пространстве и во времени.

Сила F{\displaystyle \mathbf {F} }, действующая на частицу с электрическим зарядом q{\displaystyle q}, движущуюся со скоростью v{\displaystyle \mathbf {v} }, во внешнем электрическом E{\displaystyle \mathbf {E} } и магнитном B{\displaystyle \mathbf {B} } полях, такова:

F=q(E+v×B),{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}

где ×{\displaystyle \times } — векторное произведение. Все величины, выделенные жирным, являются векторами. Более явно:

F(r,t,q)=qE(r,t)+qr˙×B(r,t),{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t,q)=q\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t),}

где r{\displaystyle \mathbf {r} } — радиус-вектор заряженной частицы, t{\displaystyle t} — время, точкой обозначена производная по времени.

Непрерывное распределение заряда

Сила Лоренца (на единичный 3-объём) f{\displaystyle f} действующая на непрерывное распределение заряда (зарядовая плотность ρ) при движении. 3-плотность потока J{\displaystyle J} соответствует движению заряженного элемента dq{\displaystyle dq} в объеме dV{\displaystyle dV}.

Для непрерывного распределения заряда, сила Лоренца принимает вид:

dF=dq(E+v×B),{\displaystyle d\mathbf {F} =dq\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}

где dF{\displaystyle d\mathbf {F} } — сила, действующая на маленький элемент dq{\displaystyle dq}.

Направление силы Лоренца

Ученые заметили, что есть определенная закономерность между тем, как частица влетает в магнитное поле и тем, куда оно ее отклоняет. Чтобы ее было легче запомнить, они разработали специальное мнемоническое правило. Для его запоминания нужно совсем немного усилий, ведь в нем используется то, что всегда под рукой – рука. Точнее, левая ладонь, в честь чего оно носит название правила левой руки.

Итак, ладонь должна быть раскрыта, четыре пальца смотрят вперед, большой палец оттопырен в сторону. Угол между ними составляет 900. Теперь необходимо представить, что магнитный поток представляет собой стрелу, которая впивается в ладонь с внутренней стороны и выходит с тыльной. Пальцы при этом смотрят туда же, куда летит воображаемая частица. В таком случае большой палец покажет, куда она отклонится.

Определение

Когда электроны движутся по проводнику – вокруг него возникает магнитное поле. В то же время, если поместить проводник в поперечное магнитное поле и двигать его – возникнет ЭДС электромагнитной индукции. Если через проводник, который находится в магнитном поле, протекает ток – на него действует сила Ампера.

Её величина зависит от протекающего тока, длины проводника, величины вектора магнитной индукции и синуса угла между линиями магнитного поля и проводником. Она вычисляются по формуле:

Рассматриваемая сила отчасти похожа на ту, что рассмотрена выше, но действует не на проводник, а на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле. Формула имеет вид:

Важно! Сила Лоренца (Fл) действует на электрон, движущийся в магнитном поле, а на проводник – Ампера. Из двух формул видно, что и в первом и во втором случае, чем ближе синус угла aльфа к 90 градусам, тем большее воздействие оказывает на проводник или заряд Fа или Fл соответственно

Из двух формул видно, что и в первом и во втором случае, чем ближе синус угла aльфа к 90 градусам, тем большее воздействие оказывает на проводник или заряд Fа или Fл соответственно.

Итак, сила Лоренца характеризует не изменение величины скорости, а то, какое происходит воздействие со стороны магнитного поля на заряженный электрон или положительный ион. При воздействии на них Fл не совершает работы. Соответственно изменяется именно направление скорости движения заряженной частицы, а не её величина.

Что касается единицы измерения силы Лоренца, как и в случае с другими силами в физике используется такая величина как Ньютон. Её составляющие:

Полная сила[править]

При движении заряженной частицы в электромагнитном поле на неё будут действовать и электрическое, и магнитное поле, а полная сила есть сумма сил со стороны первого и второго:
$$F = F_e + F_m =\,$$
$$q\vec E+q$$(в СИ),
$$q\vec E+{q\over c}$$(в СГС),

где:

• \(E\) — напряжённость электрического поля,
• \(F_m\) — сила действующая со стороны магнитного поля (сила Лоренца в узком смысле),
• \(F_e\) — сила, действующая со стороны электрического поля,
• остальные обозначения — см. параграф выше.

Направление движения частицы в зависимости от её заряда при векторе магнитной индукции перпендикулярном вектору скорости (к нам из плоскости рисунка, перпендикулярно ей).

Примечания

1. Минковский назвал такой график движения мировой линией; однако в этом параграфе мы не будем углубляться в связь преобразований Лоренца с понятием пространства Минковского в полном его объёме, прежде всего — чтобы не усложнять и не прерывать элементарный вывод, который удобнее считать независимым от каких-либо дополнительных специальных понятий, ограничившись только элементарными геометрическими и алгебраическими понятиями лишь настолько, насколько они необходимы. По сути, речь идёт именно о преобразовании координат в пространстве Минковского, причём в данном параграфе, исходя из постулата постоянства скорости света, как раз и выясняются определённые свойства этого пространства, как и преобразований Лоренца — в качестве удобных преобразований координат в нём. Но ещё раз для ясности подчеркнем, что для самого вывода не нужно знать ничего кроме того, что явно сказано в основном тексте параграфа.

Примеры из жизни

Насколько вы сильны?

Рассмотрим простейший пример. Ваш ребёнок сел на санки и просит вас его покатать. С какой силой вам нужно тянуть эти санки, чтобы ребёнок остался доволен быстрой ездой ? Пока санки с ребёнком остаются в состоянии покоя, все силы, действующие на них, уравновешены. Состояние покоя — это частный случай инерции. Здесь на санки действуют две силы: тяжести Fт = m•g, направленная вертикально вниз, и нормального давления N, направленная вертикально вверх. Поскольку санки не движутся, то N – m•g = 0. Тогда из этого равенства следует, что N = m•g.

Когда вы решили покатать своего ребёнка, вы прикладываете силу тяги (Fтяги) к санкам с ребёнком. Когда вы начинаете тянуть санки, возникает сопротивление движению, вызванное силой трения (Fтр.), направленной в противоположную сторону. Это так называемая сила трения покоя. Когда тело не движется, она равна нулю. Стоит потянуть за санки — и появляется сила трения покоя, которая меняется от нуля до некоторого максимального значения (Fтр. max). Как только Fтяги превысит Fтр.max, санки с ребёнком придут в движение.

Чтобы найти Fтяги, применим второй закон Ньютона: Fтяги – Fтр.max = m•a, где a – ускорение, с которым вы тянете санки, m – масса санок с ребёнком. Допустим, вы разогнали санки до определённой скорости, которая не изменяется. Тогда a = 0 и вышеприведённое уравнение запишется в виде: Fтяги – Fтр. max = 0, или Fтяги = Fтр.max. Есть известный закон из физики, который устанавливает определённую зависимость для Fтр.max и N. Эта зависимость имеет вид: Fтр.max = fmax • N, где fmax – максимальный коэффициент трения покоя.

Если в эту формулу подставить выражение для N, то мы получим Fтр.max = fmax•m•g. Тогда формула искомой силы тяги примет вид: Fтяги = fmax•m•g = fск•m•g, где fск = fmax – коэффициент трения скольжения, g – ускорение свободного падения. Допустим, fск = 0,7, m = 30 кг, g = 9,81 м/с², тогда Fтяги = 0,7 • 30 кг • 9,81 м/с² = 206,01 Н (Ньютона).

Использование

Эксперимент, показывающий воздействие силы Лоренца на заряженные частицы

Пучок электронов, движущихся по круговой траектории под воздействием магнитного поля. Свечение вызвано возбуждением атомов остаточного газа в баллоне

• Основным применением силы Лоренца (точнее, её частного случая — силы Ампера) являются электрические машины (электродвигатели и генераторы). Сила Лоренца широко используется в электронных приборах для воздействия на заряженные частицы (электроны и иногда ионы), например в телевизионных электронно-лучевых трубках, а также в масс-спектрометрии и МГД-генераторах.
• Сила Лоренца также используется в ускорителях заряженных частиц: она задаёт орбиту, по которой движутся эти частицы.
• Сила Лоренца используется в рельсотроне.
• Велосиметрия силой Лоренца заключается в бесконтактном измерении скорости движения проводящей жидкости.

Частные случаи

Направление движения частицы в зависимости от её заряда при векторе магнитной индукции, перпендикулярном вектору скорости (к нам из плоскости рисунка, перпендикулярно ей)

В однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно вектору скорости, под действием силы Лоренца заряженная частица будет равномерно двигаться по окружности постоянного радиуса r{\displaystyle r} (называемого также гирорадиусом). Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой:

СГС	СИ
mv2r=|q|cvB⇒r=cm|q|⋅vB{\displaystyle {mv^{2} \over r}={|q| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over |q|}\cdot {v \over B}}	mv2r=|q|vB⇒r=m|q|⋅vB{\displaystyle {mv^{2} \over r}=|q|vB\Rightarrow r={m \over |q|}\cdot {v \over B}}

Работа силы Лоренца будет равна нулю, поскольку векторы силы и скорости всегда ортогональны. При скорости v {\displaystyle v\ }, намного меньшей скорости света, круговая частота ω {\displaystyle \omega \ } не зависит от v {\displaystyle v\ }:

СГС	СИ
ω=|q|Bmc{\displaystyle \omega ={|q|B \over mc}}	ω=|q|Bm{\displaystyle \omega ={|q|B \over m}}

Если заряженная частица движется в магнитном поле так, что вектор скорости v {\displaystyle v\ } составляет с вектором магнитной индукции B{\displaystyle \mathbf {B} } угол α {\displaystyle \alpha \ }, то траекторией движения частицы является винтовая линия с радиусом r {\displaystyle r\ } и шагом винта h {\displaystyle h\ }:

СГС	СИ
r=mc|q|⋅vsin⁡αB{\displaystyle r={mc \over |q|}\cdot {v\sin \alpha \over B}}, h=2πB⋅mc|q|⋅vcos⁡α{\displaystyle h={2\pi \over B}\cdot {mc \over |q|}\cdot v\cos \alpha }	r=m|q|⋅vsin⁡αB{\displaystyle r={m \over |q|}\cdot {v\sin \alpha \over B}}, h=2πB⋅m|q|⋅vcos⁡α{\displaystyle h={2\pi \over B}\cdot {m \over |q|}\cdot v\cos \alpha }

Направление силы Лоренца

Ученые заметили, что есть определенная закономерность между тем, как частица влетает в магнитное поле и тем, куда оно ее отклоняет. Чтобы ее было легче запомнить, они разработали специальное мнемоническое правило. Для его запоминания нужно совсем немного усилий, ведь в нем используется то, что всегда под рукой – рука. Точнее, левая ладонь, в честь чего оно носит название правила левой руки.

Итак, ладонь должна быть раскрыта, четыре пальца смотрят вперед, большой палец оттопырен в сторону. Угол между ними составляет 900. Теперь необходимо представить, что магнитный поток представляет собой стрелу, которая впивается в ладонь с внутренней стороны и выходит с тыльной. Пальцы при этом смотрят туда же, куда летит воображаемая частица. В таком случае большой палец покажет, куда она отклонится.

Неточности классической теории

Классическая теория, приводя к практически правильному конечному результату, давала этому неправильную трактовку. В ней пропорциональность между K{\displaystyle K} и σ{\displaystyle \sigma } объяснялась тем, что средняя кинетическая энергия электронного газа равна 32kT{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}kT}, то есть пропорциональна абсолютной температуре. На самом деле закон объясняется тем, что абсолютной температуре пропорциональна не средняя энергия, а теплоёмкость электронного газа. Классическая теория допускала ошибку, завышая в 100 раз теплоёмкость электронного газа, но эта ошибка случайно компенсировалась другой ошибкой. Скорость электронов, участвующих в теплообмене, определяется их кинетической энергией на поверхности Ферми: 2EFm{\displaystyle {\sqrt {2E_{F}/m}}}, — тогда как в классической теории считалось, что эта скорость порядка классической средней скорости теплового движения 3kTm{\displaystyle {\sqrt {3kT/m}}}. Тем самым средний квадрат скорости электронов, участвующих в теплообмене, занижался в 100 раз (так же, как и теплоёмкость), а конечный результат получался правильным.

2.1. Явление электромагнитной индукции

В
1831г. Фарадей обнаружил физическое
явление, получившее название явления
электромагнитной индукции (ЭМИ),
заключающееся в том, что при изменении
магнитного потока, пронизывающего
контур, в нем возникает электрический
ток.
Полученный Фарадеем ток называется
индукционным.

Индукционный
ток можно получить, например, если
постоянный магнит вдвигать внутрь
катушки, к которой присоединен гальванометр
(рис. 8, а). Если магнит вынимать из катушки,
возникает ток противоположного
направления (рис. 8, б).

Индукционный
ток возникает и в том случае, когда
магнит неподвижен, а движется катушка
(вверх или вниз), т.е. важна лишь
относительность движения.

Но
не при всяком движении возникает
индукционный ток. При вращении магнита
вокруг его вертикальной оси тока нет,
т.к. в этом случае магнитный поток сквозь
катушку не изменяется (рис. 8, в), в то
время как в предыдущих опытах магнитный
поток меняется: в первом опыте он растет,
а во втором – уменьшается (рис. 8, а, б).

Направление
индукционного тока подчиняется правилу
Ленца:

возникающий
в замкнутом контуре индукционный ток
всегда направлен так, чтобы создаваемое
им магнитное поле противодействовало
причине, его вызывающей.

Индукционный
ток препятствует внешнему потоку при
его увеличении и поддерживает внешний
поток при его убывании.

Рис.
8. Явление электромагнитной индукции

Ниже
на левом рисунке (рис. 9) индукция внешнего
магнитного поля
,
направленного «от нас» (+) растет
(>0),
на правом – убывает (<0).
Видно, чтоиндукционный
ток
направлен так, что его собственное
магнитное
поле препятствует изменению внешнего
магнитного потока, вызвавшего этот ток.

Рис.
9. К определению направления индукционного
тока

Классный массаж простаты дома мужу для кайфа поднимает настроение

Массаж простаты дома мужу для кайфа – это один из распространенных способов разнообразить интимную жизнь и одновременно улучшить половое здоровье партнера. Для многих известно, почему это доставляет удовольствие мужчине, а вот как делать массаж правильно знают не все.

Классическая теория дисперсии

Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой ω{\displaystyle \omega _{0}}. В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь, уравнение колебаний имеет вид:

r¨+ω2r=emE(t),{\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}+\omega _{0}^{2}{\boldsymbol {r}}={\frac {e}{m}}{\boldsymbol {E}}(t),}

где r{\displaystyle {\boldsymbol {r}}} — смещение электрона из положения равновесия, r¨{\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}} — вторая производная r{\displaystyle {\boldsymbol {r}}} по времени (ускорение электрона), e{\displaystyle e} и m{\displaystyle m} — заряд и масса электрона соответственно, а E(t){\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t)} — напряжённость электрического поля.

В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой ω{\displaystyle \omega }, сначала получается зависимость r(t){\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}, а затем и поляризуемость α{\displaystyle \alpha }:

α=e2m1ω2−ω2.{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}

После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:

n2−1n2+2=4πNe23m1ω2−ω2.{\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi Ne^{2}}{3m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}

Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами ωi{\displaystyle \omega _{0i}}. В таком случае дисперсионная формула принимает вид:

n2−1n2+2=4πNe23m∑ifiωi2−ω2,{\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi Ne^{2}}{3m}}\sum _{i}{\frac {f_{i}}{\omega _{0i}^{2}-\omega ^{2}}},}

где fi{\displaystyle f_{i}} — безразмерные коэффициенты (силы осцилляторов), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу ∑ifi=1{\displaystyle \sum _{i}f_{i}=1}.

Свежие комментарии

Трішки історії

Перші спроби описати електромагнітну силу були зроблені ще в XVIII столітті. Вчені Генрі Кавендіш і Тобіас Майєр висловили припущення, що сила на магнітних полюсах і електрично заряджених об’єктах підкоряється закону зворотних квадратів. Однак експериментальне підтвердження цього факту не було повним і переконливим. Тільки в 1784 році Шарль Августин де Кулон за допомогою свого торсіонного балансу зміг остаточно довести це припущення.

У 1820 році фізиком Ерстедом був відкритий факт, що на магнітну стрілку компаса діє струм вольта, а Андре-Марі Ампер в цьому ж році зміг розробити формулу кутової залежності між двома струмовими елементами. По суті, ці відкриття стали фундаментом сучасної концепції електричних та магнітних полів. Сама ж концепція отримала свій подальший розвиток в теоріях Майкла Фарадея, особливо в його уявленні про силові лінії. Лорд Кельвін і Джеймс Максвелл доповнили теорії Фарадея докладним математичним описом. Зокрема Максвеллом було створене так зване, «рівняння поля Максвелла» – що представляє собою систему диференціальних та інтегральних рівнянь, що описують електромагнітне поле і його зв’язок з електричними зарядами і струмами у вакуумі та суцільних середовищах.

Джей Джей Томпсон був першим фізиком, хто спробував вивести з рівняння поля Максвелла електромагнітну силу, які діє на рухомий заряджений об’єкт. У 1881 році він опублікував свою формулу F = q / 2 v x B. Але через деякі прорахунки та неповний опис струму зміщення вона виявилася не зовсім правильною.

І ось, нарешті, в 1895 році голландський вчений Хендрік Лоренц вивів правильну формулу, яка використовується і понині, а також носить його ім’я, як і та сила, що діє на рухому частку в магнітному полі, відтепер називається «силою Лоренца».

Хендрік Лоренц.

Определение и формула силы Лоренца

В школе очень часто показывают опыт с магнитом и железными опилками на бумажном листе. Если расположить его под бумагой и слегка потрясти, то опилки выстроятся по линиям, которые принято называть линиями магнитной напряженности. Говоря простыми словами, это силовое поле магнита, которое окружает его подобно кокону. Оно замкнуто само на себя, то есть не имеет ни начала, ни конца. Это векторная величина, которая направлена от южного полюса магнита к северному.

Если бы в него влетела заряженная частица, то поле воздействовало бы на него очень любопытным образом. Она бы не затормозилась и не ускорилась, а всего лишь отклонилась в сторону. Чем она быстрее и чем сильнее поле, тем больше на нее действует эта сила. Ее назвали силой Лоренца в честь ученого-физика, впервые открывшего это свойство магнитного поля.

Вычисляют ее по специальной формуле:

FЛ=qvB,

здесь q – величина заряда в Кулонах, v – скорость, с которой движется заряд, в м/с, а B – индукция магнитного поля в единице измерения Тл (Тесла).

Алгебраический вывод

На основании нескольких естественных предположений (основным из которых является предположение о существовании максимальной скорости распространения взаимодействий) , что при смене ИСО должна сохраняться величина

ds2=c2dt2−dx2−dy2−dz2{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}},

называемая интервалом. Из этой теоремы напрямую следует общий вид преобразований Лоренца (). Здесь рассмотрим лишь частный случай. Для наглядности при переходе в ИСО K′{\displaystyle K’}, движущуюся со скоростью v{\displaystyle v}, выберем в исходной системе K{\displaystyle K} ось X{\displaystyle X} сонаправленной с v{\displaystyle v}, а оси Y{\displaystyle Y} и Z{\displaystyle Z} расположим перпендикулярно оси X{\displaystyle X}. Пространственные оси ИСО K′{\displaystyle K’} в момент времени t={\displaystyle t=0} выберем сонаправленными с осями ИСО K{\displaystyle K}. При таком преобразовании

y′=y,  z′=z,  c2t′2−x′2=c2t2−x2{\displaystyle y’=y,~~z’=z,~~c^{2}t’^{2}-x’^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}

Мы будем искать линейные преобразования Лоренца, так как при бесконечно малых преобразованиях координат дифференциалы новых координат линейно зависят от дифференциалов старых координат, а в силу однородности пространства и времени коэффициенты не могут зависеть от координат, только от взаимной ориентации и скорости ИСО.

То, что поперечные координаты не могут меняться, ясно из соображений изотропности пространства. Действительно, величина y′{\displaystyle y’} не может изменяться и при этом не зависеть от x{\displaystyle x} (кроме как при вращении вокруг v{\displaystyle v}, которое мы исключаем из рассмотрения), в чём легко убедиться подстановкой таких линейных преобразований в выражение для интервала. Но если она зависит от x{\displaystyle x}, то точка с координатой (,x,,){\displaystyle (0,x,0,0)} будет иметь ненулевую координату y′{\displaystyle y’}, что противоречит наличию симметрии вращения системы относительно v{\displaystyle v} и изотропии пространства. Аналогично для z′{\displaystyle z’}.

Наиболее общий вид таких преобразований:

y′=y,  z′=z,  ct′=ctchα−xshα,  x′=xchα−ctshα{\displaystyle y’=y,~~z’=z,~~ct’=ct\,\operatorname {ch} \,\alpha -x\,\operatorname {sh} \,\alpha ,~~x’=x\,\operatorname {ch} \,\alpha -ct\,\operatorname {sh} \,\alpha }

где α{\displaystyle \alpha } — некоторый параметр, называемый быстротой. Обратные преобразования имеют вид

y=y′,  z=z′,  ct=ct′chα+x′shα,  x=x′chα+ct′shα{\displaystyle y=y’,~~z=z’,~~ct=ct’\,\operatorname {ch} \,\alpha +x’\,\operatorname {sh} \,\alpha ,~~x=x’\,\operatorname {ch} \,\alpha +ct’\,\operatorname {sh} \,\alpha }

Ясно, что точка, покоящаяся в ИСО K{\displaystyle K}, должна будет двигаться в ИСО K′{\displaystyle K’} со скоростью −v{\displaystyle -v}. С другой стороны, если точка покоится, то

dx=dx′chα+cdt′shα={\displaystyle dx=dx’\,\operatorname {ch} \,\alpha +c\,dt’\,\operatorname {sh} \,\alpha =0}

dx′cdt′=−vc=−thα ⇒ thα=vc{\displaystyle {\frac {dx’}{c\,dt’}}=-{\frac {v}{c}}=-\operatorname {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operatorname {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}}

Учитывая, что при смене ИСО не должна меняться ориентация пространства, получим, что

chα⩾{\displaystyle \operatorname {ch} \,\alpha \geqslant 0}

Следовательно, уравнение для быстроты однозначно разрешимо:

chα=11−v2c2,  shα=vc1−v2c2{\displaystyle \operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},~~\operatorname {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}}

а преобразования Лоренца имеют вид

 x′=γ(x−vt){\displaystyle \ x’=\gamma (x-vt)}

 t′=γ(t−vc2x){\displaystyle \ t’=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2}}}x)}

γ=chα=11−v2c2{\displaystyle \gamma =\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

Параметр γ{\displaystyle \gamma } называется лоренц-фактором.