Rc-цепь

Калькулятор импеданса параллельной RL-цепи

Калькулятор определяет импеданс и фазовый сдвиг для соединенных параллельно катушки индуктивности и резистора для заданной частоты синусоидального сигнала. Определяется также угловая частота.

Пример. Рассчитать импеданс катушки индуктивности 500 mГн и резистора 200 кОм на частоте 25 кГц.

Входные данные
Сопротивление, R

миллиом (мОм)ом (Ом)килоом (кОм)мегаом (МОм)
Индуктивность, L

генри (Гн)миллигенри (мГн)микрогенри (мкГн)наногенри (нГн)пикогенри (пГн)
Частота, f

герц (Гц)миллигерц (мГц)килогерц (кГц)мегагерц (МГц)гигагерц (ГГц)

Выходные данные

Угловая частота ω= рад/с

Емкостное реактивное сопротивление X_L= Ом

Полный импеданс RL |Z_RL|= Ом

Фазовый сдвигφ = ° = рад

Введите значения индуктивности и частоты, выберите единицы измерения и нажмите кнопку Рассчитать. Попробуйте ввести нулевые или бесконечно большие значения величин, чтобы посмотреть как будет себя вести эта цепь. Бесконечная частота не поддерживается. Для ввода значения бесконечность наберите inf.

Для расчетов используются указанные ниже формулы:

Здесь

Векторная диаграмма параллельной RL-цепи показывает, что общий ток отстает от общего напряжения на угол от 0 до 90°. Отметим, что при отсутствии в цепи резистора угол будет равен 90° (чисто реактивная нагрузка), а если убрать индуктивность — угол будет равен 0° (чисто активная нагрузка)

Z_RL — импеданс цепи RL в омах (Ом),

ω = 2πf — угловая частота в рад/с,

f — частота в герцах (Гц),

R сопротивление в омах (Ом),

L — индуктивность в генри (Гн),

φ — фазовый сдвиг между полным напряжением V_T и полным током I_T в градусах (°),

j — мнимая единица.

Для расчета введите индуктивность, сопротивление, частоту и выберите единицы измерения. Импеданс RL –цепи будет показан в омах, сдвиг фаз в градусах и радианах. Также будет рассчитано индуктивное реактивное сопротивление в омах.

График зависимости импеданса Z_RL параллельной RL-цепи от частоты f при различных величинах сопротивления и индуктивности

Импеданс параллельной RL-цепи представляет собой комплексное число и определяется так:

В параллельной RL-цепи напряжение V_T на резисторе, и катушке индуктивности одно и то же, однако общий ток I_T разделяется на токи в ветвях цепи, I_L и I_R, которые в общем случае различны:

Из закона Кирхгофа для токов следует, что полный ток в RL-цепи I_T является векторной суммой токов в ветвях цепи I_L и I_R, между которыми имеется сдвиг фаз 90°. Следовательно,

Режимы отказа элементов

А что если в этой схеме отказал один из элементов? Нажмите на соответствующую ссылку, чтобы посмотреть соответствующие режимы отказа:

Отказавший элемент	Тип отказа
Резистор	Короткое замыкание	Обрыв
Катушка	Короткое замыкание	Обрыв

Особые режимы работы цепи

Нажмите на соответствующую ссылку, чтобы посмотреть как работает калькулятор в особых режимах:

Примечания

• Нулевая частота в объяснениях поведения этой цепи означает постоянный ток. Если f = 0, предполагается, что цепь подключена к идеальному источнику напряжения.
• При нулевой частоте реактивное сопротивление идеальной катушки индуктивности считается бесконечно большим, если ее индуктивность бесконечно большая. Если же индуктивность катушки конечная или нулевая, ее реактивное сопротивление при нулевой частоте равно нулю и для источника постоянного напряжения она представляет собой короткое замыкание.

1.2.1 Напряжение и ток в rc-цепях под воздействием единичного скачка.

На вход RC-цепи (см.
рис.1.6) поступает единичный скачок
напряжения, изображённый на рис.1.7.

Рис. 1.6 -Принципиальная
схема RC-цепи. Рис. 1.7
-График единичного скачка.

Определим
реакцию цепи на единичный скачок, т.е.
установим зависимости:

; ;;

Уравнение
скачка, т.е. напряжение на входе цепи
описывается в виде:

;

;

Начальные условия:
,,.

Уравнение второго закона Кирхгофа для
цепи имеет вид:

.

С учётом
,,
получим;

Запишем
дифференциальное уравнение описывающее
RC-цепь в стандартном
виде:

,

с начальными
условиями
,,. (1.1)

Решение такого дифференциального
уравнения ищется в виде суммы свободной
и вынужденной составляющих:

.

Свободная
составляющая записывается в виде:
,
и описывает собственный переходной
процесс в цепи при отсутствии возмущающего
воздействия (т.е. при нулевой правой
части уравнения), следовательно,

;

обозначив
,
запишем это уравнение в операторной
форме:

.

Поскольку
изменяется во времени переходного
процесса по экспоненциальному закону,
т.е.,
то

,
отсюда находим корень характеристического
уравнения

.

Подставив его
значение в уравнение свободной
составляющей, получим:

,
где,
постоянная времениRC-цепи,

тогда

.

При
,;

Вынужденная
составляющая, обусловленная правой
частью уравнения, имеет место после
окончания переходных процессов
(теоретически при
,
практически при) определяется в виде:

.

Теперь запишем
полное решение дифференциального
уравнения:

.

В этом выражении
неизвестной величиной является амплитуда
A.ОпределимАиз начальных условий:

;

.

Окончательное
решение дифференциального уравнения
имеет вид:

; (1.2)

Зависимость
при разных постоянных времениRC-цепи
приведены на рис.1.8

Рис.
1.8

Напряжение на
выходе RC-цепи имеет
вид:

.

Зависимости
при различных значенияхприведены на рис.1.9.

Рис.
1.9

Поскольку
,
то(1.4)

Зависимость
приведена на рис.1.10.

Рис.
1.10

Включение rC-цепи на постоянное напряжение

Основы > Теоретические основы электротехники

Включение rС-цепи на постоянное напряжениеРассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи на постоянное напряжение U (рис. 14.13).Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, или с учетом ( 14.19) . Соответствующее однородное уравнение, т. е. уравнение для свободного процесса, совпадает с ( 14.20). Поэтому свободное напряжение на емкостиПереходное напряжение на емкостиТак как конденсатор не был заряжен, т. е. при t = 0 напряжение , то А = — U иДля тока получимНачальное значение тока i(0+) может быть получено и непосредственно.

Все страницы раздела «Классический метод расчета переходных процессов» на websor Законы коммутации Переходный, установившийся и свободный процессы Короткое замыкание rL-цепи Включение rL-цепи на постоянное напряжение Включение rL-цепи на синусоидальное напряжениеКороткое замыкание rС-цепи Включение rС-цепи на постоянное напряжение Включение rС-цепи на синусоидальное напряжение Переходные процессы в rLC-цепи Апериодическая разрядка конденсатора Предельный случай апериодической разрядки конденсатора Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора Включение rLC-цепи на постоянное напряжение Общий случай расчета переходных процессов классическим методом Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы Переходная и импульсная переходная характеристики Запись интеграла Дюамеля Метод переменных состояния Численные методы решения уравнений состояния Дискретные модели электрической цепи Переходные процессы при некорректных коммутациях Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

Рис. 14.13

Так как , то все напряжение источника U при t = 0 равно напряжению .Кривые изменения (рис. 14.14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение .

Отметим аналогию законов изменения тока в rL-цепи и напряжения в rC-цепи при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств ( 14.14) и (14.25) и кривых на рис. 14.6 и 14.14. Аналогично также изменение величин и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения rL и rС-цепей на синусоидальное напряжение.К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении rC-цепи, не зависит от значения r.

Рис. 14.14

Дифференцирующая RC-цепь.

Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав – это конденсатор и резистор И выглядит она следующим образом:

Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор, прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:

i = C\medspace\frac{dU_c}{dt}

Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):

u_{out} = u_{in}\medspace-\medspace u_c

В то же время, по закону Ома мы можем записать:

u_{out} = i R = C R\medspace\frac{dU_c}{dt}

Выразим u_c из первого выражения и подставим во второе:

u_{out} = C R\medspace\frac{dU_c}{dt} = C R\medspace(\frac{dU_{in}}{dt}\medspace-\medspace \frac{dU_{out}}{dt}\medspace)
u_{out} = C R\medspace\frac{dU_{in}}{dt}\medspace-\medspace C R\medspace\frac{dU_{out}}{dt}

При условии, что C R\medspace\frac{dU_{out}}{dt} << u_{out} (то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:

u_{out} \approx C R\medspace\frac{dU_{in}}{dt}

Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала. Но возможен еще и другой случай, когда C R\medspace\frac{dU_{out}}{dt} >> u_{out} (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:

C R\medspace\frac{dU_{in}}{dt} = C R\medspace\frac{dU_{out}}{dt}

То есть: U_{out} \approx U_{in}.

Можно заметить, что условие C R\medspace\frac{dU_{out}}{dt} << u_{out} будет лучше выполняться при небольших значениях произведения C R, которое называют постоянной времени цепи:

\tau = R C

Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика цепи Заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненциальному закону:

u = U_0\medspace e^{-t/\tau}

Здесь U_0 – напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Теперь посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени \tau:

U_{\tau} = U_0\medspace e^{-\tau/\tau} = U_0\medspace e^{-1} \approx 0.37\medspace U_0

Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального. Таким образом, \tau – это время, за которое конденсатор:

• при заряде – зарядится до 63%
• при разряде – разрядится на 63% (разрядится до 37%)

С постоянной времени цепи мы разобрались, давайте вернемся к дифференцирующей RC-цепи. Теоретические аспекты функционирования мы разобрали, так что давайте посмотрим, как она работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:

А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал – синий цвет):

Что же мы тут видим?

Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференциал равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит RC-цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем же связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто – при “включении” входного сигнала происходит процесс зарядки конденсатора, то есть по цепи проходит ток зарядки и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса зарядки ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно U_{out} = i R. Давайте увеличим масштаб осциллограммы и тогда мы получим наглядную иллюстрацию процесса зарядки:

При “отключении” сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядкой, а разрядкой конденсатора.

В данном случае постоянная времени цепи у нас имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике! Будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту \tau:

Тут даже не надо ничего комментировать – результат налицо Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что давайте переходить к следующему вопросу – к интергрирующим RC-цепям.

Дифференцирующие и интегрирующие RC — цепи

Рассмотренные выше случаи заряда и разряда конденсатора аналогичны ситуации в цепи, когда на вход RC
— цепи подается одиночный прямоугольный импульс длительностиtu
>>
t
.
Процессы, происходящие в такой электрической цепи (рис.13 а, б
) при подаче на вход ее в момент t
= 0
идеального прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U
от генератора с внутренним сопротивлением R
2
= 0
, иллюстрируется временными диаграммами на рис.14.

http://pandia.ru/text/79/193/images/image018_17.gif» width=»265″ height=»182 src=»>

а

б

Р и с. 13

С моментаt
=
t
1
(положим t
1
= 0
), начинается процесс заряда конденсатора, описываемый уравнениями рис.14 а
, 14 б
).

При t
=
t
2
=
tu
напряжения на конденсаторе и резисторе описываются уравнениями(12), (14) и начинается разряд конденсаторов на сопротивление R
(рис.14 а
, 14 б
). При этом полярность напряжения на резисторе меняется на противоположную в соответствии с направлением тока разряда конденсатора (ф-ла 13). Следует заметить, что форма напряжения Uc
,
UR
существенно зависит от соотношения между постоянной времени цепи t
с
и длительностью импульса tu
=
t
2
—
t
1
. На рис. 14 представлены следующие соотношения между t
с
иtu
:

t
с
/ tu
= 1 ;
t
с
/ tu
>>
1;
t
с
/ tu
1.

В случае t
с
/ tu
>>
1
конденсатор за время действия импульса почти не заряжается и напряжение на резисторе R
практически повторяет по форме и амплитуде импульс на входе. В течение действия импульса в электрическом поле конденсатора накапливается незначительное количество энергии и поэтому после окончания действия импульса (t
=
t
2
)
в цепи практически не возникает переходный процесс. Такая RC
— цепь называется переходной (разделительной).

При t
=
tu
конденсатор успевает зарядиться до Uc
(t
с
/ tu
) = 0,63
U
,

UR
(t) = UR(t
с
) = 0,37U0.
После окончания действия импульса в цепи возникает переходный процесс, обусловленный рассеянием энергии, запасенной в конденсаторе. В цепи появляется разрядный ток, направление которого противоположно направлению зарядного тока. При

t
с
/ tu
1
конденсатор успевает зарядиться уже в начале импульса

(U0 = Uc).
На сопротивлении появится короткий импульс положительной полярности, обусловленный протеканием зарядного тока. В момент окончания входного импульса (t
=
t
2
)
в цепи возникает ток разряда конденсатора и на резисторе появится отрицательный импульс (рис.15 б
).

http://pandia.ru/text/79/193/images/image020_16.gif» width=»302″ height=»503 src=»>

а

б

Р и с. 14

Выходным элементом RC
—

цепи может быть как конденсатор С
(рис.15), так и резистор R
(рис.1 6).
Как следует из приведенных выше временных диаграмм Uc
(t
),
UR
(t
)
форма выходного сигнала будет зависеть от соотношения между длительностью импульсаtu
и постоянной времени t
с
.

http://pandia.ru/text/79/193/images/image022_11.gif» width=»294″ height=»617 src=»>

Р и с. 15 Р и с. 16

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.15, т. е. с емкостным выходом:

UR
(t) = I(t)R = U
вх
(t) — Uc(t),
(26)

Uc
(t
) =
q
(t
) / С = 1/С
ò
I
(t
)
dt
= 1/С
ò
U
вх
(t
) —
Uc
(t
)
R
dt
,

еслиUc
(t
)
U
вх
(t
),
то Uc
(t
) = 1/С
ò
U
вх
(t
) ,
(27)

т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного. Поэтому RC
— цепь с емкостным выходом (t
с
/ tu
>>
1)
называется интегрирующей.

Рассмотрим RC
—

цепь, изображенную на рис. 16, т. е. с резистивным выходом:

I(t) = dq(t) / dt = C dUc(t) / dt

где q
(
t

)

— заряд на конденсаторе.

Напряжение на резисторе

UR
(t) = I(t)R = RC
×
dUc / dt = RC d/dt
×
U
вх
(t) — UR(t)
,

так как Uc
(t
) —
UR
(t
) =
U
вх
(t
).

Если UR(t) UR(t) = RC
×
dUвх(t) / dt,

т. е. выходное напряжение пропорционально производной входного. Такую RC
— цепь называют дифференцирующей (укорачивающей).
Обычно длительность выходных (укороченных) импульсов такой RC — цепи определяют на уровне 0,5
U
, т. е.

0,5 U0 = U0 e-tu/
t
c
,
(28)

Имеем: ln
0,5 = —
tu
t
,
илиtu
= 0,7
t
c
.

Выражение (28)
может быть использовано для экспериментального определения t
с
=
RC
.

Практические схемы генераторов синусоидальных сигналов

R₄/R₃
= 1/10

R₂/R₁
= 10

LC
генератор на ОУ, где цепь ПОС обеспечена
делителем R₃,
R₄,
LC
контур и цепь ООС обеспечивают делители
R₂,
R₁.

На
частоте настройки контура ПОС максимальна,
а на всех остальных частотах выбирается
меньше требуемой, в результате условие
баланса фаз и амплитуд обеспечивается
только на частоте настройки контура,
что обеспечивает генерацию синусоидального
сигнала. Т. к. любая ПОС повышает
нестабильность всех параметров усилителя,
то в генераторах всегда используется
цепь ООС, обеспечивающая в первую очередь
стабилизацию амплитуды выходного
сигнала.

RC
генератор на основе моста Вина

1. с
   параметрической стабилизацией амплитуды

2. с
   компенсационной стабилизацией амплитуды
   (с АРУ — автоматической регулировкой
   усиления)

1. С
   помощью элементов R₁,
   C₁,
   R₂,
   C₂
   (мост Вина) обеспечивается ПОС и
   избирательные свойства, т. к. ₊
   = 1/3, то для обеспечения генерации
   необходимо, чтобы усиление было строго
   = 2/3 для обеспечения начала генерации.

Перестройка
по частоте может быть обеспечена либо
одновременным изменением С₁,
С₂,
либо R₁,
R₂.
В рассматриваемой схеме для стабилизации
амплитуды выходного напряжения
используется нелинейная параметрическая
ООС, обусловленная использованием VD₁
и VD₂.

Сопротивление
резисторов R₄/R₃
+ 1 выбирается таким, чтобы было немного
больше 3/2 для обеспечения начала
генерации. При возрастании амплитуды
U_вых
динамическое сопротивление диодов
уменьшается, следовательно, глубина ОС
увеличивается, усиление уменьшается.
При уменьшении U_вых
динамическое сопротивление диодов
увеличивается, глубина ОС уменьшается,
следовательно, усиление увеличивается.
Таким образом, при определенной амплитуде
U_вых
обеспечивается в схеме баланс амплитуд
при отклонениях этого напряжения от
стационарного, нелинейность ОС
обуславливает возврат системы в режим
балансе. Т. к. характеристики диодов
практически не зависят от частоты в
относительно широком диапазоне частот
(особенно ВЧ — диоды), то стабилизация
достигается в широком диапазоне частот
почти мгновенно. Но т. к. ОС нелинейная,
то это приводит к нелинейным искажениям
выходного сигнала и такой вариант
стабилизации не обеспечивает высокой
частоты выходного сигнала. Более чистый
сигнал обеспечивает система инерционной
стабилизации U_вых
(линейной), что реализовано в 2) с помощью
цепи R
— VD₁
— C
— VT₁.
В этой схеме ПТ выполняет роль управляемого
напряжением резистора и R₃,
R₄
выбираются такими, чтобы усиление было
несколько больше требуемого (процентов
на 10). Цепочка R
— VD₁
— C
представляет собой преобразователь
амплитуды U_вых
в напряжение (выпрямитель). Это напряжение
на С
управляет затвором ПТ (VT₁).
При возрастании выходного напряжения,
напряжение на С
также возрастает, VT₁
закрывается, его выходное сопротивление
возрастает, следовательно, глубина ОС
увеличивается. Усиление уменьшается и
возвращает систему в состояние баланса.
При уменьшении амплитуды U_вых
действия противоположны и опять
возвращение к состоянию баланса. Т. к.
здесь используется интегрирование с
помощью С,
то эта система автоматического
регулирования с интегратором в цепи
ОС, т. е. система инерционна и отрабатывает
медленное изменение U_вых.
Т. к. система линейна, следовательно,
имеет место минимальный коэффициент
нелинейных искажений, т. е. монохроматичности
выходного сигнала. В прецизионных
генераторах сигналов с широким диапазоном
перестройки по частоте, используют как
параметрическую стабилизацию, так и
компенсационную одновременно.

Интегрирующая цепь RC

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C,
представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно,
значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R.
Напряжение на выводах резистора обозначим U_R.
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U_out + Const .
Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком. В правой части постоянную времени RC
вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U_out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора,
следовательно, и входному току I_in.
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U_out от интеграла входного U_in,
необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U_in/I_in во входной цепи вызвано тем,
что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e-t/τ, которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1,
то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ.
Здесь t — время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.τ = RC — постоянная времени — произведение величин R и C.
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t,
тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ) может быть достаточно линейным,
что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала,
тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость
U_in/I_in ≈ R.
В таком случае выходное напряжение U_out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U_in.
Чем больше величины номиналов RC, тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const,
тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора — положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки,
не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a), а интеграл константы будет линейной функцией.
∫adx = ax + Const. Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const.
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции — парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x2/2 + Const.
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I_in = I_R = U_in/R = — I_C.

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора
U_C = U_out = — U_in .
Следовательно, U_out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC, когда τ = 1 Sec,
выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку.
Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.