Цепь с активным сопротивлением

2.3 Цепь переменного тока с индуктивным сопротивлением.

Многие элементы
электрических установок состоят из
индуктивных катушек, обладающих
индуктивностью L.
При включении такой катушки в цепь
переменного тока, в ней мгновенно
проявляется действие ЭДС самоиндукции
— ,
препятствующее изменению тока. Величина
этой ЭДС настолько значительна, что на
ее уравновешивание затрачивается
основная часть напряжения, приложенного
к катушке, и лишь его небольшая часть
приходится на падение напряжения в
активном сопротивлении катушки. Поэтому
часто активное сопротивление катушки
приравнивается к нулю, и такую катушку
называют идеальной катушкой индуктивности.
Цепь переменного тока с такой катушкой
называется цепью с индуктивной нагрузкой
(рис. 2.6).

Рис. 2.6 Цепь
переменного тока с индуктивной нагрузкой.

К зажимам цепи
подведено синусоидальное напряжение
u.
Под действием
этого напряжения в цепи возникает ток,
мгновенное значение которого равно

(2.8.)

Ток возбуждает в
катушке ЭДС самоиндукции, пропорциональную
скорости изменения тока в цепи

(2.9)

В любой момент
времени ЭДС самоиндукции —
уравновешивается напряжением на зажимах
цепи u

(2.10)

Подставляя (2.8) и
(2.10) в (2.9), имеем:

(2.11)

где
амплитудное значение напряжения:

(2.12)

Разделив обе части
уравнения (2.12) на ,
получим выражение закона Ома для цепи
с идеальной катушкой индуктивности.

(2.13)

Рассмотрим
размерность знаменателя выражения
(2.13)

Обозначим
и назовем индуктивным сопротивлением
идеальной катушки. Его величина зависит
от индуктивности катушки и частоты
питающего тока.

Сравнивая между
собой уравнения (2.8) и (2.11) делаем вывод:
в цепи переменного тока с индуктивной
нагрузкой напряжение опережает ток на
угол в 90°.

Мгновенная мощность
цепи определяется как произведение
мгновенных значений тока и напряжения,
т.е.

Таким образом,
мгновенная мощность в цепи переменного
тока с индуктивностью изменяется во
времени с удвоенной частотой по отношению
к частоте тока.

Построим векторную
и волновую диаграммы цепи с индуктивным
сопротивлением (рис. 2.7).

Рис. 2.7 Векторная
и волновая диаграммы цепи переменного
тока с индуктивным сопротивлением.

Анализ волновой
диаграммы позволяет сделать следующие
выводы:

В
течение первой и третьей четвертей
периода переменного тока при его
изменении от нуля до амплитудного
значения, мощность положительна. Это
означает, что энергия, посылаемая
источником во внешнюю цепь, запасается
в катушке индуктивности в форме энергии
магнитного поля

.

В
течении второй и четвёртой четвертей
периода, при изменении тока от амплитудного
значения до нуля, мощность отрицательна.
Это означает, что катушка индуктивности
возвращает запасенную энергию источнику.

Таким
образом, в цепи переменного тока с
идеальной катушкой индуктивности
происходит периодический обмен энергией
между внешним источником и магнитным
полем катушки. Средняя активная мощность
за период оказывается равной нулю, т.е.
источник в такой цепи не расходует
энергии и, следовательно, в индуктивности
не происходит необратимого преобразования
электрической энергии в другие виды
энергии.

Мощность
цепи с идеальной катушкой оценивают по
величине индуктивной мощности Q_L,
измеряемой в ВАр (вольт-ампер реактивный)
и характеризующей интенсивность обмена
энергией между генератором и магнитным
полем катушки

.

Индуктивная
мощность в отличие от активной мощности
не может быть использована в практических
целях.

Сопротивления цепи

Уравнение (5-30) можно переписать в следующем виде

U = √(Ir)2 + (Ix_L)2 = I√r2 + x2_L = Iᴢ

откуда ток в цепи

I = U/z = U / √(r2 + x2_L)

Величина

z = √(r2 + x2_L) = √(r2 + ωL)2

называется полным сопротивлением цепи.

Сопротивления r, x_L и z графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника — треугольника сопротивлении (рис. 5-20),который можно получить из треугольника напряжений, уменьшив каждую из его сторон в I раз.

Так как треугольники сопротивлений и напряжений подобны, то угол сдвига φ между напряжением и током, равный углу между сторонами треугольника z и r, можно определить через

cos φ = U_a /U

Рис 5-20. Треугольник сопротивлений цепи с активным сопротивлением и индуктивностью

Мощность

Мгновенное значение мощности

р = ui = U_м сos 2ωt = UI sin 2ωt

Приняв во внимание, что sin ωt cos ωt = 1/2 sin 2 ωt, получим: p = 1/2UмIм sin 2ωt = UI sin 2ωt

На рис. 5-15 показан график мгновенной мощности. Мгновенная мощность в цепи с индуктивностью изменяется с двойной частотой,; достигая то положительного максимума UI= I2 ωL, то такого же по величине отрицательного максимума.

При нарастании тока, а следовательно, и магнитного потока (первая и третья четверти периода, рис. 5-15), независимо от его направления, происходит: накопление энергии магнитного поля от пуля до максимального значений: W_м = 1/2LI2_м = LI2

которая получается от генератора; таким образом, цепь работает в режиме потребителя, что соответствует положительному значению мощности цепи.

При спадании тока, а следовательно, и магнитного потока (вторая и четвертая четверти периода, рис. 5-15) происходит уменьшение энергии магнитного поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с индуктивностью.

Средняя мощность Р в цепи с индуктивностью равна нулю.

Максимальное значение мощности Q в цепи с индуктивностью принято называть реактивной мощностью.

Из (5-27) следует, что Q = 1/2U_мI_м = UI = I2ωL = ωW_м

Единица измерения реактивной мощности носит название вольт-ампер реактивный (вар).

Пример 5-5. Катушка с индуктивностью 0,01 гн включена в сеть

с напряжением 127 в и частотой 50 гц.

1.Определить реактивное сопротивление, ток цепи и реактивную мощность:

x_L = 2πfL = 2π • 50 • 0,01 = 3,14 ом;

I= U/ x_L= 127 : 3,14 = 40,5 а

Q = UI= 127 • 40,5 = 5143,5 вар.

2.Определить реактивное сопротивление и ток при частоте 500 гц:

x_L =2πfL = 2π • 500 • 0,01=31,4 ом;

I = U / x_L = 127 : 31,4 = 4,05 a

Формула расчета реактивного сопротивления

В общем случае для деталей катушечного типа применяются выражения:

X = L*w = 2* π*f*L.

Для конденсаторов применяют формулы:

X = 1/(w*C)= 1/(2* π*f*C).

Для конкретного элемента, нужные параметры которого известны, величина может быть вычислена с использованием онлайн калькулятора. В форму потребуется ввести нужные данные и нажать на кнопку, инициирующую расчеты.

Умение рассчитывать данную составляющую сопротивляемости поможет узнать величину тепловых потерь на используемых нагрузках. При параллельном подсоединении конденсатора с подходящей емкостью можно решить проблему энергетических потерь на индуктивных нагрузках.

Реактивное сопротивление катушки индуктивности.

При протекании переменного тока I в катушке, магнитное поле создаёт в её витках ЭДС, которая препятствует изменению тока.
При увеличении тока, ЭДС отрицательна и препятствует нарастанию тока, при уменьшении — положительна и препятствует его убыванию,
оказывая таким образом сопротивление изменению тока на протяжении всего периода.

В результате созданного противодействия, на выводах катушки индуктивности в противофазе формируется напряжение U, подавляющее ЭДС,
равное ей по амплитуде и противоположное по знаку.

При прохождении тока через нуль, амплитуда ЭДС достигает максимального значения,
что образует расхождение во времени тока и напряжения в 1/4 периода.

Если приложить к выводам катушки индуктивности напряжение U, ток не может начаться мгновенно по причине противодействия ЭДС,
равного -U, поэтому ток в индуктивности всегда будет отставать от напряжения на угол 90°. Сдвиг при отстающем токе называют положительным.

Запишем выражение мгновенного значения напряжения u исходя из ЭДС (ε), которая
пропорциональна индуктивности L и скорости изменения тока: u = -ε = L(di/dt).
Отсюда выразим синусоидальный ток .

Интегралом функции sin(t) будет -соs(t), либо равная ей функция sin(t-π/2).
Дифференциал dt функции sin(ωt) выйдет из под знака интеграла множителем 1/ω.
В результате получим выражение мгновенного значения тока со
сдвигом от функции напряжения на угол π/2 (90°).
Для среднеквадратичных значений U и I в таком случае можно записать .

В итоге имеем зависимость синусоидального тока от напряжения согласно Закону Ома,
где в знаменателе вместо R выражение ωL, которое и является реактивным сопротивлением:

Реактивное сопротивлениие индуктивностей называют индуктивным.

Цепь с емкостным сопротивлением.

Определим характер
переменного тока «I»
в цепи с конденсатором, к которой
приложено переменное напряжение
U = U_m
sint.

Мгновенные значения
заряда «q»
на пластинах конденсатора

q = cU =
cU_m
sin t.

Дифференцируем

где I_m
= cU_m.
Это уравнение показывает, что ток в
цепи, подобно напряжению, имеет
синусоидальный характер (смотри
рисунок), причем упреждает напряжение
по фазе на угол.Сопоставляя
максимальное значение токаI_m
= cU_mс формулой
закона Ома, видим, что в цепи с емкостью
значение сопротивления имеет величина
,
которая обозначаетсяX_c.Величина
называется емкостным сопротивлением
цепи и измеряется в Омах, еслис
— в Фарадах
и — в Герцах.
Физический смысл емкостного сопротивления
можно объяснить так: ток «I»
в цепи конденсатора пропорционален
заряду «q»
и частоте «»
смены процессов заряда и разряда
конденсатора. Заряд «q»
при данном приложенном напряжении «U»
пропорционален емкости «с»
конденсатора, а 
= 2.
Поэтому ток «I»
в цепи пропорционален произведению
«c«,
которое, следовательно, имеет значение
проводимости цепи. Величина, ей обратная,
то есть
,
имеет значение сопротивления цепи.В
цепи, содержащей емкость и активное
сопротивление, угол сдвига фазы тока
будет меньше и в зависимости от
соотношения между ними может иметь
значения от 0 до 90.В
чисто емкостном сопротивлении потерь
энергии не происходит, в связи с чем
оно называется реактивным.

34. Полное
сопротивление цепи переменного эл.тока.
Импеданс. . Рассм.
цепь, состю из последю соед-ных резистора
R,
катушки индук-тивности Lи
конденсатора С.
Если
на нее подать перемен. напряж-е , то ток
в цепи будет изм-ся по закону:
,где-
разность фаз напр-я и силы тока. Такая
цепь им. как актив., так и реактивное
сопр-я. => ее сопр-е наз. импедансом и
обо­значаютZ.
Импедансравен
отношению амплитуд. значе­ния переем.
напр-я на концах цепи к ам­плитуд.
Знач-ю силы тока в ней:

Элементы(R,L,С)полной
цепи перем. тока на рис. соединены
последо-вательно.
=>
по ним про­текает одинак. ток, а напрсклад-ся из напр-ний на отдел. участках
цепи:Для сложения напр-ний исп. след.
графи­ч. прием. На вектор.диаграмме
отклад-сякак
век­торы
все
3 ампл-ды напр-ний

Тогда
сумма этих векторов дает вектор напряж-я
в цепи. Вел-на и направл-е вектора
дают амплитуду напр-ния в сети и фазовый
угол
между
током и напряжением. Из рис. по т.
Пифагора имеем:
Подставляя выражения этих амплитуд
из и учит. закон Ома, находим:Дальше пол. выр-е для определения
импеданса:

Мощность в активном сопротивлении

Мгновенное значение мощности для цепи с резистором:

Из рисунка видно, что потребляемая резистором мгновенная мощность остается все время положительной, но пульсирует с удвоенной по отношению к силе тока и э. д. с. частотой.

Действующее значение мощности:

Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности и конденсатором равна 0. Реактивная мощность определяется выражением:

Аналогично можно проделать для цепи с идеальным конденсатором:

В произвольной цепи переменного тока потребляемая одновременно активной и реактивной нагрузками суммарная мощность

Но так как , следовательно, . Мы приходим к выводу, что суммарная средняя мощность, потребляемая полной цепью переменного тока, равна активной мощности.

где S — полная мощность, вырабатываемая генератором переменного тока, ВА;

a — сдвиг по фазе между колебаниями э. д. с. и силы тока.

Дополнительно по теме

• История формирования ТОЭ
• Основные понятия электрических цепей
• Электрические цепи постоянного тока
• Пример расчета цепей постоянного тока
• Электрические цепи переменного тока
• Расчет цепей переменного тока
• Символический метод расчета цепей
• Резонансные явления
• Переходные процессы
• Трехфазные цепи
• Симметричные составляющие трехфазной системы
• Нелинейные цепи
• Несинусоидальные токи и напряжения
• Магнитные цепи

Решая это уравнение относительно f , находим

(3.40)

При
резонансе напряжений частота источника
равна собственной частоте колебаний
контура.

Выражение
(3.40) является формулой Томсона, определяющей
за­висимость собственной частоты
колебаний контура
,
от параметровL
и С.
Следует вспомнить, что если конденсатор
контура зарядить от ис­точника
постоянного тока, а затем замкнуть его
на индуктивную ка­тушку, то в контуре
возникнет переменный ток частоты
.
Вследствие потерь колебания в контуре
будут затухать, причем время затухания
зависит от величины потерь.

Рис. 55

Резонансу напряжений
соответствует векторная диаграмма,
при­веденная на рис.55. На основании
этой диаграммы и закона Ома для цепи с
r,
L
и С
сформулируем признаки резонанса
напряжений:

а)
сопротивление всей цепи
мини­мальное и чисто активное;

б)
ток цепи совпадает по фазе с напряже­нием
источника и достигает максимального значения;

Рис. 56
Рис. 57

в) напряжение
на индуктивной катушке равно напряжению
на емкости и каждое в отдельности может
во много раз превышать напряжение на
зажимах цепи.

Физически
это объясняется тем, что напряжение
источника при резонансе идет только на
покрытие потерь в контуре. Напряже­ние
на индуктивности и емкости обусловлено
накопленной в них энергией, величина
которой тем больше, чем меньше потери
в цепи. Количествен­но
указанное явление характеризуется
добротностью кон­тура Q,
которая представляет собой отношение
напряжения на ка­тушке или емкости к
напряжению на зажимах цепи при резонансе;

.
(3.41)

При
резонансе

Величина
называется волновым сопротивлением
контура. Таким образом,

(3.42)

Способность
колебательного контура выделять токи
резонансных частот и ослаблять токи
других частот характеризуется резонансной
кривой (рис. 56).

Резонансная
кривая показывает зависимость действующего
значе­ния тока в контуре от частоты
источника при неизменной собственной
частоте контура.

Эта
зависимость определяется законом Ома
для цепи с r,
L
и С.
Действительно, I
= Uz,
где

(3.43)

На
рис. 57 показана зависимость реактивного
сопротивления
от частоты источника. Анализ этого
графика и выражения (3.43) показывает, что
при низких и высоких частотах реактивное
со­противление велико и ток в контуре
мал. При частотах, близкихреактивное сопротивление мало и ток
контура велик. При этом, чем больше
добротность контураQ, тем острее
резонансная кривая кон­тура.

3.7 Электрическая цепь переменного синусоидального тока с идеальной ёмкостью (Рис.3.12).

В течение
достаточно короткого времени dt,
электрический заряд конденсатора будет

и ,

откуда

и .

Рис.3.12

Посредством
математических преобразований получим:

, (3.13)

где

и в
эффективных
значениях .

Величина

называется емкостным
сопротивлением и
обозначается

(3.14)

Выражение
для мгновенной
мощности дает:

и в
эффективных
значениях .

Среднее
значение мощности
для целого числа периодов равно нулю.
Амплитуда мгновенной
мощности
называется реактивной
емкостной мощностью,
которая выражается следующими формулами:

. (3.15)

Комплексное
представление дает

(3.16)

и
графически получим (Рис.3.13).

Рис.3.13

Так как
угол 
= —/2,
можно
сделать заключение, что характер
цепи идеально-емкостной,
и ток опережает
напряжение на 90°.

Рисунок
3.14 представляет кривые синусоидальных
величин u(t),
i(t),
p(t).

Рис.3.14

Особенности активного сопротивления

Сопротивление в электротехнике является важнейшим параметром, с помощью которого какая-то часть электрической цепи оказывает противодействие проходящему по ней току. Образованию данной величины способствуют изменения электроэнергии и ее переход в другие виды энергетических состояний.

Подобное явление характерно лишь для переменного тока, под действием которого образуются активные и реактивные сопротивления кабелей. Этот процесс представляет собой необратимые изменения энергии или передачу и распределение ее между отдельными элементами цепи. Если изменения электроэнергии принимают необратимый характер, то такое сопротивление будет активным, а если имеют место обменные процессы, оно становится реактивным. Например, электрическая плита выделяет тепло, которое обратно в электрическую энергию уже не превращается.

Данное явление в полной мере затрагивает любые виды провода и кабеля. При одинаковых условиях, они будут по-разному сопротивляться прохождению постоянного и переменного тока. Подобная ситуация возникает из-за неравномерного распределения переменного тока по сечению проводника, в результате чего образуется так называемый поверхностный эффект.

Напряжение и ток

Цепь, изображенная на рис. 5-14, обладает индуктивностью и ничтожно малым активным сопротивлением

(r = 0)

При прохождении по цепи тока

i = I_мsin ωtв ней индуктируется э.д. с. самоиндукции;

е_L = —L(di : dt)

Для замкнутой цепи согласно второму правилу Кирхгофа u + e_L = ir = 0следовательно, напряжение на зажимах индуктивности

u = — eL = L(di : dt)

Рис. 5-14. Цепь с индуктивностью.

Написанное уравнение, с одной стороны, показывает, что под действием приложенного

напряжения в цепи устанавливается такой ток, который в каждый момент времени индуктирует э. д. с. самоиндукции, равную по величине и противоположную по направлению приложенному напряжению, т. е. э. д. с, уравновешивающую напряжение.

С другой стороны, уравнение показывает, что напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения тока по времени.

При синусоидальном токе (рис. 5-15) скорость изменения его

di : dt = I_м(d sin ωt : dt) = ωI_мcosωt

т. е. скорость изменения пропорциональна косинусу. Следовательно, при прохождении тока через максимум скорость его изменения равна нулю, а при прохождении тока через нулевое значение скорость его изменения наибольшая (рис. 5-15).

Рис. 5-15. Графики тока, магнитного потока, напряжения и мощности цепи с индуктивностью.

Напряжение на индуктивности

и = L(di : dt ) = LωI_мcosωt = LωI_мsin (ωt + π:2)

Таким образом, при синусоидальном токе напряжение на индуктивности также синусоидально, но по фазе опережает ток на угол π/2 (рис. 5-16).

Индуктированная в цепи э. д. с. самоиндукции

e_L = — и = — LωI_M sin (ωt + π:2) = LωI_M sin (ωt — π:2)

сдвинута по фазе от напряжения на половину периода.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью дана на рис. 5-16.

Рис. 5-16. Векторная диаграмма цепи с индуктивностью.